Stochastischer Systeme mit Cross-Diffusion

Nehmen wir an Sie haben eine Zell Population auf einer chemischen Substanz in einer Petrischale in einem Labor. Mit der Zeit wird diese Zell Population sich ausbreiten, und miteinander interagieren. Hier bewegen sie sich nicht einfach nur wahllos, sondern gehen in die Richtung wo die Populationsdichte geringer ist. Wie sich diese Stoffe über Zeit und Raum ausbreiten und interagieren, wird zunächst mathematisch durch eine so genannte "partielle Differentialgleichung" beschrieben. Der "partielle" Teil bedeutet, dass die Gleichung mehrere Variablen umfasst (in diesem Fall sowohl Zeit als auch Raum), und "differentiell" bezieht sich auf die Tatsache, dass die Raten der Veränderungen in Raum und Zeit beteiligt sind. Was bedeutet "Kreuzdiffusion"? Bei einem normalen Diffusionsprozess breitet sich ein Stoff von Bereichen mit hoher Konzentration zu Bereichen mit niedriger Konzentration aus. Bei der Kreuzdiffusion hingegen kommt es zu einer Wechselwirkung zwischen zwei oder mehr Stoffen, während sie sich ausbreiten. Das bedeutet, dass die Bewegung eines Stoffes nicht nur von seiner eigenen Konzentration, sondern auch von der Konzentration anderer im selben Raum vorhandener Stoffe beeinflusst wird. In unseren Beispielen könnte es sein, dass die Zellen von der Chemikalie angezogen werden und gleichzeitig diese Chemikalie produzieren. Eine Situation, die bei Schleimpilzen vorkommt. Eine mathematische partielle Differentialgleichung mit Kreuzdiffusion beschreibt also, wie mehrere Substanzen interagieren und sich in einem bestimmten Raum ausbreiten, wobei ihr Einfluss auf die Bewegung der anderen berücksichtigt wird. Wissenschaftler verwenden diese Gleichungen, um verschiedene reale Situationen zu modellieren, z. B. die Diffusion von Chemikalien, Wärme oder anderen Größen in biologischen, chemischen und physikalischen Systemen, bei denen die Wechselwirkungen zwischen verschiedenen Stoffen für das Verständnis des Gesamtverhaltens wesentlich sind. Die Zellen bewegen sich jedoch nicht gleichförmig. Analysiert man das mikroskopische Verhalten so kommt es zu unregelmäßiger zufälligen individueller Zellbewegungen. Diese zufälligen Fluktuationen werden aber bei der Modellierung des makroskopischen Systems vernachlässigt. Man wendet den zentralen Grenzwertsatz an, und beschreibt den Grenzwert mittels einer deterministischen partiellen Differentialgleichung. In diesem Projekt wollen wir Systeme mit Kreuzdiffusion mit einer stochastischen Störung modellieren, und so, die Fluktuation bzw. den Zufall nicht mehr vernachlässigen, sondern mit simulieren. Wie im täglichen Leben hat hier der Zufall starke Auswirkung auf die Dynamik eines Systems hat. Tipping Points verändern sich, Multistabilität entsteht, ein System kann ohne Motivation plötzlich in einen anderen Zustand übergehen, etc. In unserem Projekt werden verschiedene Fragestellungen behandelt. Einige sind von eher theoretischer Natur, wie die Untersuchung der Existenz von solchen Lösungen, die die Gleichungen erfüllen, über dynamische Phänomene auf lange Sicht bis hin zu eher praktischen Fragen wie der Modellierung dieser Systeme auf einem Computer reichen.