Adaptive Uzawa-FEM für nichtlineare PDEs

Viele Prozesse in Natur und Technik werden mathematisch durch sogenannte partielle Differentialgleichungen modelliert. Auch wenn man im konkreten Fall oft zeigen kann, dass eine betrachtete Differentialgleichung eine eindeutige Lösung hat, so kann man diese Lösung in den seltensten Fällen mit Hilfe einer geschlossenen Formel angeben. Stattdessen bedarf es numerischer Verfahren, um die gesuchte Lösung zu approximieren und ihr Verhalten quantitativ zu verstehen. Das Ziel jedes numerischen Verfahrens ist es, eine diskrete Lösung zu berechnen, die in minimaler Computerrechenzeit die unbekannte exakte Lösung bis auf eine als notwendig vorgeschriebene Toleranz approximiert, d.h. der Approximationsfehler soll optimal mit der Rechenzeit fallen. Im Rahmen des Projektes sollen adaptive Algorithmen hergeleitet und mathematisch fundiert werden, die diese Anforderungen erfüllen. Dazu müssen verschiedene Fehlerquellen der numerischen Simulation mathematisch kontrolliert und geeignet ausbalanciert werden. Der konkrete Fokus des Projektes liegt auf nichtlinearen und gekoppelten Differentialgleichungen und folgt einer Strategie, die durch den Uzawa- Algorithmus für die Stokes-Gleichung motiviert ist: Linearisierung auf dem kontinuierlichen Level der Differentialgleichungen, Diskretisierung der linearisierten Gleichungen mittels Finiter-Elemente-Methode, Numerische Lösung mit Hilfe geeigneter iterativer Verfahren für lineare Gleichungen. Dieses Vorgehen hat insbesondere dann Vorteile, wenn gekoppelte Probleme betrachtet werden, weil dadurch die Gleichungen entkoppelt werden, d.h. anstelle eines großen (ggf. nichtlinear) gekoppelten Gleichungssystems müssen nur zwei kleinere (nicht-gekoppelte) lineare Gleichungssysteme gelöst werden.