Reaktionsnetzwerke und "positive algebraische Geometrie"

Reaktionsnetzwerke sind mathematische Modelle, die in der Chemie, in Bereichen der Biologie wie Ökologie und Epidemiologie und sogar in der Wirtschaft und im Ingenieurwesen verwendet werden. Insbesondere kann jedes polynomiale dynamische System (mit ganzzahligen Exponenten) und sogar jedes Power-law System (mit reellen Exponenten) als Reaktionsnetzwerk mit (verallgemeinerter) Massenwirkungskinetik (MWK oder VMWK) geschrieben werden. Unter der Annahme von MWK ist die Rate einer Reaktion das Produkt aus einer Ratenkonstante und einem Monom in den Konzentrationen der Reaktanden. Folglich führt ein Netzwerk von mehreren Reaktionen zu einem polynomialen dynamischen System (für nichtnegative Variablen). Seine stationären Zustände sind die Nullstellen von multivariaten Polynomen, wie sie in der reellen algebraischen Geometrie untersucht werden. Unter der Annahme von VMWK (d.h. von reellen Exponenten), erhält man Power-law Systeme. In früheren Arbeiten haben wir uns auf spezielle positive stationäre Zustände konzentriert, die durch das zugrundeliegende Netzwerk bestimmt werden. In diesem Projekt wenden wir uns allgemeinen stationären Zuständen zu. Abstrakt ausgedrückt, untersuchen wir positive Nullstellen von parametrisierten Systemen verallgemeinerter polynominaler Gleichungen (mit reellen Exponenten). In der Tat haben wir soeben die Grundlagen für einen neuartigen Ansatz zur positiven algebraischen Geometrie geschaffen. Erstens haben wir die entscheidenden geometrischen Objekte verallgemeinerter multivariater Polynome identifiziert, nämlich das Koeffizientenpolytop und zwei lineare Unterräume, die monomiale Differenzen und Abhängigkeiten repräsentieren. Zweitens haben wir gezeigt, dass (parametrisierte Systeme verallgemeinerter) polynominaler Gleichungen als binomische (!) Gleichungen auf dem Koeffizientenpolytop geschrieben werden können (die von Monomen in den Parametern abhängen). In diesem Projekt bauen wir auf unseren jüngsten Ergebnissen auf und gehen wichtige (und anspruchsvolle) offene Probleme an. Insbesondere konzentrieren wir uns auf drei Bereiche: (i) Existenz und eindeutige Existenz von Lösungen, für gegebene oder für alle Parameter, (ii) obere Schranken für die Anzahl der Lösungen, wie sie in der Theorie der reellen Fewnomials untersucht werden, und (iii) Vereinheitlichung und Erweiterung klassischer Ergebnisse für Reaktionsnetzwerke. Um die Probleme anzugehen, kombinieren wir Konzepte und Methoden aus der Analysis, der polyedrischen Geometrie und der orientierten Matroide. Die angestrebten Ergebnisse leisten einen bedeutenden Beitrag zur Theorie der reellen Fewnomials und erweitern die Anwendbarkeit der Theorie der Reaktionsnetzwerke (von MWK auf VMWK). Da wir reelle Exponenten zulassen, können wir außerdem kleine Störungen sowohl der Koeffizienten als auch der Exponenten untersuchen. Als Querschnittsthema untersuchen wir die Robustheit aller angestrebten Ergebnisse.