Algebraische Integralgeometrie für konvexe Funktionen

Bewertungen sind ein klassisches Instrument, das es ermöglicht, die geometrischen Eigenschaften eines Objekts zu untersuchen. Angenommen, das betrachtete Objekt ist konvex, das heißt, es enthält jedes Streckensegment, das zwei beliebige Punkte des Objekts verbindet. In diesem Fall lassen sich solche geometrischen Funktionale unter geeigneten topologischen und geometrischen Annahmen klassifizieren. Ein bemerkenswertes Beispiel ist der Satz von Hadwiger, der alle stetigen Bewertungen auf konvexen Körpern charakterisiert, die invariant unter Translationen und Rotationen sind. Der Satz besagt, dass innere Volumina diesen Raum von Bewertungen aufspannen. Dabei handelt es sich um Funktionale, die grundlegende Elemente der sogenannten Brunn-Minkowski-Theorie darstellen. Der Satz von Hadwiger findet Anwendungen beispielsweise in der Integralgeometrie, wo er zu kinematischen und Kubota- Formeln führt. In jüngerer Zeit haben Alesker, Bernig und Fu mit der Untersuchung algebraischer Strukturen auf Räumen von Bewertungen begonnen, was zu erheblichen Fortschritten und neuen Interpretationen der genannten integralgeometrischen Formeln geführt hat. Später entwickelten Colesanti, Ludwig und Mussnig die Theorie der Bewertungen auf konvexen Funktionen, wodurch die Theorie der Bewertungen auf konvexen Körpern erweitert wurde. In diesem Rahmen stellt die Untersuchung algebraischer Strukturen auf Räumen von Bewertungen auf konvexen Funktionen eine bisher weitgehend unerforschte Forschungsrichtung dar, die dieses Projekt aufgreifen will. Wir planen, algebraische Operationen auf diesen Funktionalräumen einzuführen und die daraus entstehenden Strukturen zu untersuchen. Das übergeordnete Ziel ist es, diese Strukturen mit integralgeometrischen Formeln zu verbinden, wie es im geometrischen Setting der Fall ist. Dieses Projekt steht in Wechselwirkung mit vielen verschiedenen Bereichen der Mathematik, wie der geometrischen Maßtheorie, der algebraischen Geometrie und dem Variationskalkül, und wir erwarten, dass es zu einem bedeutenden Austausch mit unseren Ergebnissen kommt.