Distanzartig-basierende beschleunigte Regularisierung

Inverse Probleme bilden einen wesentlichen Rahmen für die Lösung einer Vielzahl von Fragestellungen in technischen und medizinischen Bereichen. Die meisten inversen Probleme sind jedoch schlecht gestellt, d. h. kleine Störungen in den Daten können starke Schwankungen in der Lösung auslösen. Die rasanten Entwicklungen in den genannten Bereichen machen die Entwicklung effizienter und stabiler Algorithmen für inverse Probleme daher zu einer ständigen Herausforderung. Eine vielversprechende Richtung in dieser Hinsicht ist die Untersuchung von Methoden, die komplexere Maße für Distanzen zwischen Punkten anstelle euklidischer Distanzen verwenden. In diesem Projekt zielen wir darauf ab, stabile Näherungen für Lösungen inverser Probleme mit bestimmten Merkmalen wie Nichtnegativität, Sparsitätt und stückweise konstanter Struktur effizient wiederherzustellen. Die wichtigste Neuheit besteht darin, solche Probleme durch iterative Methoden zu lösen, die die vielseitige Rolle von distanzähnlichen Funktionen nutzen, um gewünschte Lösungseigenschaften zu fördern und die Konvergenz der Iterationen zu beschleunigen. Der unendlichdimensionale Kontext, in dem diese Probleme natürlicherweise verankert sind, bringt zusätzliche Komplexität in das betrachtete Rahmenwerk. Wir beabsichtigen, beschleunigte Versionen verschiedener iterativer Methoden auf Basis solcher distanzähnlicher Funktionen sowohl theoretisch als auch rechnerisch zu entwickeln und zu analysieren und sie mit etablierten Verfahren zu vergleichen. Darüber hinaus sollen interessante Verbindungen zum maschinellen Lernen und zur Bildverarbeitung untersucht werden.