Graphen & Limites von Riemannschen Flächen: Spektralanalyse

Dieses Forschungsprojekt behandelt zwei unterschiedliche geometrische Objekte: Riemannsche Flächen und Graphen. Riemannsche Flächen sind Flächen, die lokal wie die Ebene der komplexen Zahlen aussehen. Graphen sind abstrakte mathematische Versionen von Netzwerken und bestehen aus ,,Punkten, die mit Strichen verbunden sind (siehe z.B. U-Bahn-Plan oder Familienstammbaum). In den letzten Jahren hat sich gezeigt, dass die mathematischen Theorien von Riemannschen Flächen und Graphen eng miteinander verbunden sind. In diesem Projekt werden wir die Verbindungen zwischen bestimmten Differentialgleichungen aufRiemannschenFlächenund Graphen(z.B. Wärmeleitungsgleichung, Schrödingergleichung und Helmholtzgleichung) untersuchen. Einerseits wollen wir Graphen nutzen, um das Verhalten von Differentialgleichungen auf degenerierenden Riemannschen Flächen zu verstehen, d.h. Riemannschen Flächen, die zu einer "singulären Riemannschen Fläche" deformieren. Andererseits planen wir, Graphversionen von klassischen Ergebnissen über Differentialgleichungen auf Riemannschen Flächen zu etablieren. Ein drittes geometrisches Objekt - eine sogenannte hybride Kurve - die eine Mischung aus einem Graphen und einer Riemannschen Fläche ist, spielt eine Schlüsselrolle in unserem Ansatz.