Dieses Forschungsprojekt behandelt zwei unterschiedliche geometrische Objekte:
Riemannsche Flächen und Graphen. Riemannsche Flächen sind Flächen, die lokal wie die
Ebene der komplexen Zahlen aussehen. Graphen sind abstrakte mathematische Versionen
von Netzwerken und bestehen aus ,,Punkten, die mit Strichen verbunden sind (siehe z.B.
U-Bahn-Plan oder Familienstammbaum). In den letzten Jahren hat sich gezeigt, dass die
mathematischen Theorien von Riemannschen Flächen und Graphen eng miteinander
verbunden sind.
In diesem Projekt werden wir die Verbindungen zwischen bestimmten
Differentialgleichungen aufRiemannschenFlächenund Graphen(z.B.
Wärmeleitungsgleichung, Schrödingergleichung und Helmholtzgleichung) untersuchen.
Einerseits wollen wir Graphen nutzen, um das Verhalten von Differentialgleichungen auf
degenerierenden Riemannschen Flächen zu verstehen, d.h. Riemannschen Flächen, die zu
einer "singulären Riemannschen Fläche" deformieren. Andererseits planen wir,
Graphversionen von klassischen Ergebnissen über Differentialgleichungen auf
Riemannschen Flächen zu etablieren. Ein drittes geometrisches Objekt - eine sogenannte
hybride Kurve - die eine Mischung aus einem Graphen und einer Riemannschen Fläche ist,
spielt eine Schlüsselrolle in unserem Ansatz.