Verallgemeinerte zyklotomische Abbildungen endlicher Körper

Endliche Körper werden mit Methoden aus zahlreichen Gebieten einschließlich Algebra studiert. Verallgemeinerte zyklotomische Abbildungen (VzAs) sind stückweise sehr einfach zu beschreiben. Sie sind Selbstabbildungen eines endlichen Körpers, die auf jeder Nebenklassen einer multiplikativen Untergruppe mit einer Monom-Funktion übereinstimmen. Ihr Index ist die minimale Anzahl dieser Nebenklassen und daher ein Maß für die Komplexität dieser Abbildung. VzAs haben zahlreiche Anwendungen z.B. in Kodierungstheorie und Kryptografie. VzAs sind besonders nützlich bei der Konstruktion von Prüfziffersystemen, die die wichtigsten Fehlerarten wie Einzelfehler und Nachbarvertauschungen erkennen sollen. Für kryptografische Funktionen ist wiederum ein großer Index wünschenswert. Das Projekt befasst sich mit der Dynamik (Verhalten unter Iteration) von VzAs sowie mit folgender Fragen: Wie gut kann ein VzA mit niedrigem Index bestimmte kryptografische Funktionen interpolieren (wie z.B. den diskrete Logarithmus über einem endlichen Primkörper)? Welche Beziehungen des VzA-Index gibt es zu anderen Maßen für Pseudozufälligkeit? Inwiefern kann man Analoga der Weil-Schranke und verwandter Schranken für Charaktersummen für VzAs mit niedrigem Index herleiten? Wir betrachten auch analoge Probleme für auf Nebenklassen affine Abbildungen, ein additives Analogon zu VzAs. Wir erwarten, dass das Projekt einen interessanten Methodenmix aus verschiedenen Bereichen, u.a. aus Zahlentheorie und Gruppentheorie, verwendet.