Diskrepanz und universelle Diskretisierung von Frames

Das zentrale Ziel dieses Projektes ist die Entwicklung mathematischer Theorie für die Konstruktion neuartiger, universeller Reduktionsverfahren für sehr redundante Funktionswörterbücher. In mathematischer Terminologie werden diese Wörterbücher als kontinuierliche Frames bezeichnet. Sie erlauben es, auch komplexe Funktionen (oder Daten) in einfache Bausteine zu zerlegen, anhand derer Strukturen in einer untersuchten Funktion (bzw. eines untersuchten Datensatzes) offengelegt werden können. Allerdings enthalten kontinuierliche Frames oft überabzählbar viele Bausteine, also so (unendlich) viele, dass sie nicht einmal gezählt werden können. Daher ist es für die praktische Verwendung dieser Wörterbücher unerlässlich, die Anzahl der Bausteine stark zu reduzieren. Bestenfalls bleiben erwünschte Eigenschaften des Wörterbuches bei diesem Vorgang erhalten. Obwohl dies theoretisch fast immer möglich ist, wurden solche Reduktionsverfahren bisher üblicherweise im Kontext eines konkreten Wörterbuches entwickelt und sind daher zumeist nicht ohne Weiteres auf andere Wörterbücher übertragbar. Das stellt ein entscheidendes Hindernis für die theoretische und praktische Arbeit mit kontinuierlichen Frames dar und verhindert die Realisierung ihres vollen Potentials für die Datenanalyse. Daher forschen wir an der Entwicklung von Reduktionsverfahren, die unter sehr allgemeinen Annahmen an ein Wörterbuch, also in gewissem Sinne universell, anwendbar sind und damit die Verwendung allgemeinerer Wörterbücher erst ermöglichen. Dazu verwenden wir sogenannte Niedrigdiskrepanzmengen, eine zahlentheoretische Konstruktion, mit deren Hilfe wir garantieren können, dass die im Projekt entwickelten Verfahren auf eine Vielzahl kontinuierlicher Frames anwendbar sind. Dies stellt ein völlig neues Anwendungsgebiet für Niedrigdiskrepanzmengen dar, die bisher vor Allem in der computergestützten Annäherung hochdimensionaler Integrale auf Basis von Punktauswertungen mit großem Erfolg verwendet wurden.