Packungen, Überdeckungen und Zeit-Frequenz Analyse

Das Projekt Packungen, Überdeckungen und Zeit-Frequenz Analyse, geleitet von Dr. Markus Faulhuber, untersucht neue mathematische Ansätze für die digitale Übertragung von Signalen. Es handelt sich um ein Projekt in der mathematischen Grundlagenforschung, motiviert durch Fragestellungen aus der Praxis. Ziel ist es, Samplingtheoreme mit diskreter Geometrie in Verbindung zu bringen. Die wesentliche Aufgabe ist folgende: wir kennen von einer Funktion nur einige Werte und sollen bestimmen ob wir die Funktion dadurch schon eindeutig kennen. Die mathematische Theorie dazu heißt Samplingtheorie und ist schon ein Jahrhundert alt. Von praktischer Bedeutung wurde sie durch die stetig steigende Rechenleistung von Computern und ist heute in der digitalen Kommunikation oder bei bildgebenden medizinischen Verfahren nicht mehr wegzudenken. Während viele grundlegende Fragen in den letzten Jahrzehnten beantwortet wurden, so sind immer noch viele mathematische Problemstellungen dahinter unbeantwortet. Dabei betrachten wir spezielle strukturierte Funktionensystem (Gaborsysteme), welche in den 1940er Jahre vom späteren Nobelpreisträger für Physik Dennis Gabor zum Zweck der digitalen Kommunikation eingeführt wurden. In dem Projekt stellen wir uns speziell der Frage, ob Muster und Symmetrien in der Abtastung von Funktionswerten einen Einfluss auf die Stabilität der Übertragung und der Qualität der Rekonstruktion von Signalen haben. Konkret wollen wir an Hand von bestimmten Beispielen mathematisch rigoros zeigen, dass dies der Fall ist mit besonderem Augenmerk auf Packungs- und Überdeckungseigenschaften der Muster. Erstmals soll die Qualität von periodische Übertragungsmustern, welche keine Gitter sind, erforscht werden. Ein Gitter hat die Eigenschaft dass die Addition von zwei Vektoren aus dem Gitter wieder zu einem Punkt im Gitter führt. Viele periodische Muster mit Symmetrien haben diese hilfreiche Eigenschaft jedoch nicht. Dies erschwert die Berechnung der Qualitätskonstanten erheblich und soll in diesem Projekt erfolgen. Der nächste Schritt ist dann der Vergleich mit der Qualität von Gittern. Eine weitere Fragestellung betrifft die Anzahl der Punkte an welcher wir die Funktion kennen müssen um sie mittels eines Gaborsystems eindeutig rekonstruieren zu können. Dabei konzentrieren wir uns auf System welche von sogenannten Hermite Funktionen erzeigt werden, welche mathematisch besonders schöne Eigenschaften besitzen. Dabei wollen wir zeigen, dass im Allgemeinen weniger Punkte notwendig sind als bisher bewiesen wurde. Dies reduziert die notwendige Übertragungsrate bei Garantie einer eindeutigen Rekonstruktion von Signalen.