Selbstähnliche Singularitäten in Evolutionsgleichungen

Nichtlineare Evolutionsgleichungen, d. h. nichtlineare zeitabhängige partielle Differentialgleichungen, sind zentral für die mathematische Beschreibung von Naturphänomenen. Fluidströmungen und die Evolution des Universums in der Physik, Populationsdynamik und Zellteilung in der Biologie, Krebswachstum und Ausbreitung von Infektionskrankheiten in den medizinischen Wissenschaften werden alle durch nichtlineare Evolutionsgleichungen modelliert. Darüber hinaus spielen diese Gleichungen auch bei der Behandlung von rein mathematischen Problemen eine wichtige Rolle. Ein in diesem Kontext besonders relevanter Begriff ist der Zusammenbruch von Lösungen (auch Singularitätsbildung oder Blow-Up genannt). Physikalisch gesehen deutet die Bildung von Singularitäten auf eine radikale Veränderung des modellierten Phänomens hin (z.B. Brechen von Wasserwellen oder Implosion eines Sterns), oder auf das Auftreten einer neuen (singulären) Struktur (z.B. Bildung von Tropfen und Blasen in Flüssigkeiten), oder darauf, dass dem Modell tatsächlich etwas Wesentliches an Physik fehlt. Deswegen ist es von größter Bedeutung, die Existenz singulärer Lösungen zu verstehen und ihre Stabilität zu untersuchen, die eine wichtige physikalische Voraussetzung für ihre Beobachtbarkeit darstellt. Mathematisch gesehen ist der Begriff der Selbstähnlichkeit ein häufig verwendetes Konzept zur Erfassung universeller Eigenschaften von Singularitäten. Tatsächlich zeigen numerische Untersuchungen verschiedener Typen von superkritischen Gleichungen, dass Lösungen mit großen Anfangsdaten im Allgemeinen zusammenbrechen, wobei sich der Blowup durch das Auftreten selbstähnlicher Lösungen äußert.. Angesichts dieser Erkenntnisse beschäftigen wir uns in diesem Projekt, das eine Fortsetzung des Projekts P 34378 darstellt, mit der Frage der Existenz und Stabilität selbstähnlicher Singularitäten für zwei Typen von Evolutionsgleichungen, nämlich Wellengleichungen und parabolischen Gleichungen. (Sie tauchen in einer Reihe von Gebieten aus den Natur- und Ingenieurwissenschaften auf, z.B. in der Fluiddynamik, Optik, allgemeinen Relativitätstheorie, Teilchenphysik, Populationsdynamik, Bildverarbeitung, Wärmeleitung und vielen anderen.) Genauer gesagt ist das Ziel dieses Projekts die Entwicklung neuer, allgemeiner und robuster Methoden zur Untersuchung der Existenz und Stabilität von selbstähnlichem Blow-Up für superkritische Wellengleichungen und parabolische Gleichungen. Wir beabsichtigen, dies durch die Analyse konkreter Modelle zu erreichen: Wellen- und Wärmeleitungsgleichungen mit fokussierender Potenz- Nichtlinearität, die Wave Maps Gleichung, und das Keller-Segel-Modell für Chemotaxis. Unser Ansatz beinhaltet eine Kombination von Methoden aus der klassischen Analysis partieller Differentialgleichungen, der Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen, der nichtlinearen Funktionalanalysis, der Operatortheorie und der Approximationstheorie. Unser übergreifendes Ziel ist eine systematische und rigorose Untersuchung der Stabilität von Blow-Up in Evolutionsgleichungen im Allgemeinen und die Entwicklung von Techniken, die effizient auf realistische physikalische Modelle angewendet werden können.