Quantisierung durch Internalisierung

Die Quantenmechanik revolutioniert unser Verständnis des Naturverhaltens auf kleinsten Skalen und führt Konzepte ein, die unsere Alltagsintuition herausfordern, wie Überlagerung von Zuständen, Unschärfeprinzip und Verschränkung. Diese Konzepte lassen sich besser durch den mathematischen Formalismus der Quantenmechanik verstehen, der die Observablen von Quantensystemen durch Matrizen beschreibt, im Gegensatz zu zahlenwertigen Funktionen klassischer Systeme. Die Nicht-Kommutativität von Matrizen (die Reihenfolge der Multiplikation ist entscheidend), im Gegensatz zu Funktionen, spielt hier eine Rolle und ermöglicht ein Verständnis verschiedener gegenintuitiver Aspekte der Quantenphysik wie das Unschärfeprinzip. Um ein mathematisches Modell für ein Quantenphänomen zu finden, identifiziert man typischerweise ein klassisches Gegenstück dieses Phänomens und ersetzt Funktionen in der mathematischen Beschreibung dieses Gegenstücks durch Matrizen, um das erforderliche Modell für das Quantenphänomen zu erhalten - ein Vorgang, der als Quantisierung bezeichnet wird. Es ist jedoch nicht immer klar, welche Matrix eine gegebene Funktion in einem klassischen Modell ersetzen sollte, was zu verschiedenen Quantisierungsmethoden geführt hat, die Verfahren zur Auswahl dieser Matrix bieten. Dennoch gibt es mathematische Strukturen, auf die die aktuellen Quantisierungsmethoden nicht zutreffen, insbesondere in der Quantenberechnung und der Quanteninformationstheorie, da viele Strukturen in Bezug auf Relationen statt Funktionen beschrieben werden und die meisten Quantisierungsmethoden nur Funktionen quantisieren können. Jedoch haben Kuperberg und Weaver entdeckt, wie man Relationen quantisieren kann, was zur Vorstellung einer Quantenrelation führt. In diesem Vorschlag zielen wir darauf ab, zu untersuchen, wie man mathematische Strukturen mithilfe dieser Quantenrelationen auf systematische und konsistente Weise über Kategorientheorie quantisieren kann, einer mathematischen Theorie, in der mathematische Strukturen untersucht und dargestellt werden, indem sie in einer Kategorie dargestellt werden, die aus einer Sammlung von Objekten besteht, die eine mathematische Struktur repräsentieren, und einer Sammlung von Morphismen, die Funktionen oder Relationen sind, die die Struktur erhalten. Beispiele sind die Kategorien Rel von Mengen und Relationen und qRel von Quantenmengen und Quantenrelationen. Eine wichtige Technik in der Kategorientheorie ist die Internalisierung, die Verallgemeinerung set-theoretischer Konstruktionen auf andere Kategorien. Da qRel viele Eigenschaften mit Rel teilt, können die meisten Strukturen in qRel internalisiert werden, und die resultierenden internalisierten Strukturen sind genau die quantisierten Versionen dieser Strukturen. Daher beabsichtigen wir, die Quantisierung über diesen Internalisierungsprozess zu studieren.