Grobe Geometrie von Coxeter-Gruppen

Stellen Sie sich einen Beobachter vor, der in einem rechteckigen Raum steht, dessen Wände, Boden und Decke aus Spiegeln bestehen. Es scheint, als stünde er in einem unendlichen Raum, in dem in regelmäßigen Abständen unendlich viele Kopien seiner selbst stehen. Geometrisch ist dieser Raum der bekannte dreidimensionale euklidische Raum. Algebraisch gibt es Symmetrien, die den Blickwinkel zwischen den unendlich vielen Spiegelbildern des Beobachters verschieben. Stellen Sie sich nun vor, der Raum sei nicht rechteckig. Es gibt immer noch endlich viele Spiegel, die den Beobachter umgeben, sich aber in verschiedenen Winkeln schneiden. Dem Beobachter wird es immer noch so vorkommen, als stünde er in einem unendlichen Raum, in dem unendlich viele identische Menschen in einem symmetrischen Muster stehen, aber je nach Winkel der Spiegel kann der Raum auf unterschiedliche Weise gekrümmt erscheinen. Die Symmetrien von Räumen, die auf diese Weise auftreten, auch in anderen Dimensionen als drei, werden Reflexionsgruppen oder Coxeter-Gruppen genannt. Sie kommen natürlicherweise in verschiedenen Zweigen der Mathematik und Physik vor. In diesem Projekt geht es darum, die algebraischen Eigenschaften von Coxeter-Gruppen zu verstehen und sie mit den geometrischen Eigenschaften des unendlichen Raums in Beziehung zu setzen, den der Beobachter im verspiegelten Raum sieht.