Höhere Kardinalzahlcharakteristiken

Das Gebiet der Mengenlehre, ein Teilgebiet der mathematischen Logik, begann im späten 19. Jahrhundert mit Georg Cantors Arbeit an trigonometrischen Reihen, die in bald darauf zu den Begriffen der tranfiniten Ordinalzahl führte, sowie zu seiner berühmten Kontinuumshypothese, einer Vermutung über die Größen von Teilmengen der Menge der reellen Zahlen. Die Kontinuumshypothese stand an erster Stelle von David Hilberts im Jahr 1900 aufgestellen Liste von 23 offenen Problemen, die die Mathematik des 20.Jahrhunderts entscheidend beeinflusste. Teilmengen der reellen Zahlen, sowohl "reguläre" Mengen wie offene Mengen oder Borelmenge, als auch pathologische Mengen wie etwas Mengen denen kein Lebesguemaß zugeordnet werden kann (die dann zu nicht-integrierbaren Funktionen führen) waren seither stets ein zentrales Thema der Mengenlehre. Reelle Zahlen (wie etwa 1, -13,8, pi=3,14..., etc) können durch ihre Binärdarstellung auf natürliche Weise durch Teilmengen der Menge der natürlichen Zahlen (0,1,2,...) codiert werdn; das erlaubt uns, "höhere" Analoga der reellen Zahlen, sogenannte "höhere reelle Zahlen"="higher reals", zu definieren, indem wir die Teilmengen der natürlichen Zahlen durch Teilmengen größerer unendlicher Mengen ersetzen. Fragen über die Teilmengen der reellen Zahlen - wie etwa: wie groß muss eine nicht-messbare Teilmenge sein - können in natürlicher Wiese zu Fragen über diese höheren reellen Zahlen verallgemeinert werden. Die grundlegenden Fragen über die Kardinalität ("Größe") dieser unendlichen Mengen dienen als Prüfstein für unser Verständnis der internen Struktur dieser Mengen. In unserem Projekt werden wir die Kardinalitäten von verschiedenen Arten unendlicher Teilmengen dieser "höheren reellen Zahlen" untersuchen, typischerweise von sehr komplizierten Mengen. Während es bekannt ist, dass es mengentheoretische Universen gibt, in denen alle diese Mengen die gleiche Größe haben, werden wir mengentheoretische Universen kontruieren, in denen es viele verschiedene Arten dieser komplizierten Mengen gibt, mit mehreren verschiedenen Kardinalitäten.