Quantengruppen und ihre Anwendungen

Quantengruppen wurden um 1985 unabhängig voneinander von Drinfeld und Jimbo ein- geführt. Die Darstellungstheorie von Quantengruppen wurde in den letzten Jahrzehnten von vielen berühmten Mathematikern intensiv weiterentwickelt. Viele Probleme in der Darstellungstheorie von Quantengruppen wurden inzwischen gelöst, aber viele grundle- gende Probleme sind noch offen. In diesem Projekt beschäftigen wir uns mit Darstellungen von Quantengruppen und ihre Verbindung mit Grassmannschen Clusteralgebren, Grassmannschen Clusterkategorien und Streuamplituden in der Physik. Wir werden die folgenden Probleme untersuchen. 1. Betrachtung der Gruppenwirkungen geometrischer Kakteen auf geometrischen Kris- tallen. 2. Definition eines Algebra-Homomorphismus D vom Torus der die q-Charakteren der einfachen Moduln von quanten affinen Algebren für die B,C,F,G-Typen D, sowie die Anwendung von D, um den Zusammenhang zwischen q-Charakteren und Darstellungen von quanten affinen Algebren und Charakteren von Darstellungen von KLR-Algebren zu untersuchen. 3. Das Studium einer tropische Version von Braid-Gruppenaktionen und Marsh-Scott-Twists auf den Grassmannschen Clusteralgebren C[Gr(k,n)] im Hinblick auf g-Vektoren und Tableaus. Der Vergleich der Zopfgruppen Wirkungen von Fraser und die Zopfgruppen Wirkungen von Kashiwara, Kim, Oh und Park. 4. Das Herstellen einer Ver- bindung zwischen additiver und monoidaler Kategorifizierungen der Grassmannschen Clusteralgebren mit Hilfe von g-Vektoren. Wir wollen insbesondere beweisen, dass starre, unzerlegbare Moduln (bzw. reelle primäre Moduln) Clustervariablen entspre- chen, indem wir die Iyama-Yoshino Reduktion anwenden. 5. Anwendungen in der Phy- sik: Untersuchung der Faktorisierung von Grassmannschen Stringintegralen.