Über Extensionsprobleme und das ultraholomorphe Setting

Dieses Projekt ist die unmittelbare Fortsetzung von FWF-Projekt 10.55776/P33417 Ultraholomorphe und ultradifferenzierbare Extensionsprobleme und somit basieren die Forschungsfragen auf dem Fortschritt während Projekt 10.55776/P33417. Wir behandeln Probleme betreffend die Surjektivität der (asymptotischen) Borelabbildung definiert auf Klassen von ultradifferenzierbaren und ultraholo- morphen Funktionen. Zudem studieren wir grundlegende Eigenschaften dieser Klassen, deren definie- rende Gewichte und Zusammenhänge zu weiteren gewichteten Räumen welche speziell in der Funkti- onalanalysis untersucht werden. Räume von ultradifferenzierbaren Funktionen sind spezielle Teilklassen der Menge aller unendlich oft differenzierbaren Funktionen. Alle Ableitungen der Funktionen in solchen Klassen besitzen ein spezi- elles Größenwachstum welches typischerweise durch Gewichtsfolgen oder Gewichtsfunktionen kon- trolliert wird. Dabei werden jeweils Räume vom Roumieu- und vom Beurling-Typ unterschieden. Mittels Gewichtsmatrizen kann man beide klassischen Zugänge in vereinheitlichter Art und Weise gleichzeitig behandeln aber auch neue Räume betrachten. Ein weiterer Vorteil der Gewichtsmatrizen ist, dass man automatisch Resultate in der Situation von zwei verschiedenen Gewichtsfolgen erhält (kontrollierter Verlust von Regularität). Ultraholomorphe Funktionenklassen sind die komplex diffe- renzierbaren Pendants der zuvor genannten Räume. In der Funktionalanalysis werden auch noch ande- re gewichtete Räume studiert (zum Beispiel gewichtete Räume integrierbarer Funktionen) und an die Gewichte werden standardmäßige Wachstums- und Regularitätseigenschaften vorausgesetzt. Im Rahmen dieses Projekts studieren wir die Surjektivität der Borelabbildung im ultraholomorphen Fall und untersuchen das erwartete analoge Verhalten der ultraholomorphen Klassen im Vergleich zu den ultradifferenzierbaren Räumen. Weiters ist das Ziel, neue Anwendungen für ultraholomorphe Klassen definiert über Gewichtsmatrizen zu finden. Im ultradifferenzierbaren Fall konzentrieren wir uns auf die allgemeinere Whitney-Jet-Abbildung, auf den Beurling-Typ und wir untersuchen die Existenz eines stetigen linearen Extensionsoperators. Wir untersuchen auch das Bild der Borelabbil- dung im Falle der Nichtsurjektivität. Eine weitere Idee ist das Studium von Klassen, die über anisotro- pe Gewichte definiert werden, hier suchen wir auch konkrete Anwendungen. Schließlich ist das Ziel, Gewichte und ihre Wachstumseigenschaften von einem abstrakten Standpunkt aus zu studieren und Anwendungen und Verbindungen auch zu anderen gewichteten Räumen in der Funktionalanalysis zu geben. Der Projektleiter Gerhard Schindl arbeitet zusammen mit seinen Kollaborationspartnern Chiara Boiti (Università di Ferrara), Javier Sanz Gil (Universidad de Valladolid), Céline Esser (Université de Liège) und Armin Rainer (Universität Wien).