Degenerierte Orbifold-Kählermetriken und Fundamentalgruppen

In diesem Projekt werden bestimmte geometrische Objekte, sogenannte Varietäten, Mannigfaltigkeiten und Orbifaltigkeiten untersucht. Diese könn(t)en prinzipiell im dreidimensionalen Raum vorkommen und somit real vorstellbar sein, gewöhnlich werden aber Verallgemeinerungen auf höhere Dimensionen betrachtet. Die Vorstellung liefert uns aber dennoch eine Idee davon, was wir meinen, wenn wir von glatten, also überall schön abgerundeten (Ober-)Flächen sprechen dies sind die Mannigfaltigkeiten, welche in der Differentialgeometrie untersucht werden. Eine bekannte Anwendung findet sich in der Relativitätstheorie die gekrümmte Raumzeit kann als eine solche Mannigfaltigkeit beschrieben werden. Varietäten erhalten wir, wenn wir auch Spitzen erlauben, sogenannte Singularitäten. Sie werden in der algebraischen Geometrie untersucht. Orbifaltigkeiten schließlich interpolieren zwischen beiden Welten. Sie sind nicht glatt, besitzen also Singularitäten, diese sind aber relativ gutartig und lokal ganz ähnlich darstellbar wie Mannigfaltigkeiten, was es erlaubt, Erkenntnisse aus der Differentialgeometrie auf sie zu übertragen. Überhaupt sind beide Gebiete nicht scharf voneinander getrennt, und es ist oft eine gute Idee, Probleme auf der einen Seite mithilfe von Werkzeugen der anderen Seite anzugehen. Dies geschieht in diesem Projekt. Die Objekte von Interesse sind Varietäten mit sogenannten klt-Singularitäten, welche zwar recht gutartig sind, aber doch nicht so einfach behandelbar wie die der Orbifaltigkeiten. Wir wollen Überlagerungen von diesen studieren, also Abbildungen von einfacheren Objekten in unsere Varietäten. Im besten Falle gibt es ein einfachstes Objekt in der Welt der Varietäten, die (endliche) universelle Überlagerung. Manchmal existiert die universelle Überlagerung jedoch nur als weitere Verallgemeinerung und ist schlecht behandelbar. Basierend auf Forschungsarbeiten des Projektleiters, welche lokal die Existenz der (endlichen) universellen Überlagerung für klt- Singularitäten etablieren konnten, wollen wir die Gutartigkeit nun global untersuchen. Dazu bedienen wir uns, unter Zuhilfenahme tiefgreifender Verbindungsaussagen zwischen Differential- und algebraischer Geometrie, eines Mittels aus der Differentialgeometrie, sogenannter Riemannscher Metriken. Diese Metriken definieren Längenmaße auf Mannig- bzw. Orbifaltigkeiten. Existieren bestimmte Metriken, so kann keine beliebig schlechte universelle Überlagerung existieren. Die Besonderheit dieses Projektes ist, dass wir die auftretenden klt-Singularitäten erst auflösen müssen. Dies führt dazu, dass die Metriken degeneriert sind, nämlich an bestimmten Orten verschwinden. Dort können keine Längen gemessen werden. Gelingt es nun, die klassischen Erkenntnisse über gewöhnliche Metriken auf diese degenerierten Metriken zu übertragen, so können wir damit die universellen Überlagerungen von klt-Varietäten untersuchen und wesentlich besser verstehen. Dies ist das Hauptziel des Projektes.