Optimale Ungleichungen in Geometrie und Relativitätstheorie

Flächen können auf vielfältige Weise geformt sein. Einige Formen sind jedoch besonders. Nehmen wir beispielsweise eine Kugeloberfläche, die an jedem Punkt gleich aussieht, oder ein Katenoid, eine spezielle Rotationsfläche, die sich im Durchschnitt nicht krümmt. Die Kugeloberfläche ist auch in einer anderen Hinsicht besonders: Unter allen Flächen, die dasselbe Volumen einschließen, hat sie den geringsten Flächeninhalt. Zudem hat sie die kleinstmögliche Oberflächenspannung unter allen geschlossenen Flächen. Diese beiden Eigenschaften können mithilfe sogenannter optimaler Ungleichungen ausgedrückt werden. Diese Ungleichungen verknüpfen zwei oder mehr geometrische Größen einer Fläche wie Flächeninhalt, Volumen oder Oberflächenspannung auf optimale Weise. Sie sind nützliche Werkzeuge in der Geometrie und ermöglichen eine scheinbar einfache Beschreibung komplizierter geometrischer Objekte und ihrer Eigenschaften. Das Ziel dieses Projekts ist es, neue solche Ungleichungen zu beweisen, die unser Verständnis der Geometrie grundlegend vertiefen. Ist die Kugeloberfläche die geschlossene Fläche, deren Flächeninhalt durch gleichmäßiges Aufblasen am wenigsten zunimmt? Kann das Katenoid durch eine optimale Beziehung zwischen der Größe seiner Einschnürung und seiner Steigung im Unendlichen charakterisiert werden? Überraschenderweise sind solche Fragen über die Geometrie hinaus relevant und helfen uns dabei, subtile physikalische Eigenschaften von Raumzeiten zu verstehen, die den Gesetzen der allgemeinen Relativitätstheorie gehorchen.