Martingaltransport und Amerikanische Optionen

Ein zentrales Ziel der mathematischen Finanzwissenschaft besteht darin, ein klares und rationales Rahmenwerk zur Bestimmung fairer Preise für Finanzderivate zu entwickeln Verträge, deren Wert von anderen Vermögenswerten wie Aktien oder Anleihen abhängt. Dies erfordert in erster Linie die Konstruktion mathematischer Modelle, die die Preisbewegungen von Vermögenswerten so beschreiben, dass sie mit den tatsächlich am Markt beobachtbaren Preisen, insbesondere jenen bereits gehandelter Derivate, übereinstimmen. Solche Modelle bilden dann die Grundlage für die Bewertung neuer Verträge. Ein grundlegendes Prinzip in diesem Zusammenhang ist die Annahme der Arbitragefreiheit: In einem gut funktionierenden Markt sollten keine risikofreien Gewinnmöglichkeiten existieren. In der Praxis gibt es jedoch viele Modelle, die sowohl die beobachtbaren Daten als auch das Arbitragefreiheitsprinzip erfüllen, dabei jedoch sehr unterschiedliche Preisvorschläge liefern. Eine wesentliche Herausforderung besteht daher darin, die Auswirkungen dieser Modellunsicherheit zu verstehen, insbesondere das Risiko zu quantifizieren, das mit der Wahl eines bestimmten Modells gegenüber einem anderen verbunden ist. Genau diesem Thema widmet sich die robuste Finanzmathematik. Unser Ansatz begegnet diesen Herausforderungen mit Hilfe der Theorie des optimalen Transports, die ein mächtiges und strukturiertes Instrument zur Messung und Steuerung solcher Risiken bietet. In den letzten zehn Jahren haben beide Antragsteller maßgeblich an der Entwicklung dieser Theorie im Kontext der mathematischen Finanzwissenschaft mitgewirkt und dazu beigetragen, sie als eigenständiges Forschungsgebiet zu etablieren. Bisher konzentrierte sich diese Analyse vor allem auf relativ einfache Finanzderivate. In der Realität werden Finanzprodukte jedoch zunehmend komplexer, was ein tieferes Verständnis erforderlich macht. Insbesondere weisen die meisten Derivate auf einzelne Aktien eine amerikanische Ausübungsstruktur auf, das heißt, sie können jederzeit vor Fälligkeit ausgeübt werden im Gegensatz zur europäischen Struktur, bei der die Ausübung nur am Fälligkeitstag möglich ist. Diese Eigenschaft erschwert die Bewertung und Absicherung erheblich, insbesondere in einem robusten Rahmen. Ziel dieses Projekts ist es, die bestehenden Grenzen zu überwinden, indem ein systematischer Ansatz zur Auswahl von Modellen entwickelt wird, die mit reichhaltigeren und detaillierteren Marktdaten übereinstimmen, sowie zur Bewertung der mit diesen Entscheidungen verbundenen Risiken. Wir nähern uns dem Problem sowohl aus theoretischer als auch aus numerischer Perspektive, mit dem Anspruch, nicht nur streng mathematische Resultate zu erzielen, sondern auch praktisch umsetzbare Algorithmen und Methoden zu entwickeln. Ein zentrales Element dieser Arbeit ist die angemessene Berücksichtigung der Rolle von Information bei der Preisfindung und Risikobewertung, indem kausale Erweiterungen der klassischen Transporttheorie herangezogen werden.