Funktionalanalysis-Methoden für verallgemeinerte Operatoren

Während des letzten Jahrzehnts gelang es, mit Hilfe der Theorie der Colombeau`schen Algebren eine Vielzahl von analytischen und geometrischen Fragen zu beantworten. Besondere Aufmerksamkeit wurde dabei linearen und nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen mit nicht glatten Koeffizienten und stark singulären Daten gewidmet, deren Lösbarkeit klassischen Methoden nicht zugänglich war. Basierend auf neu entwickelten Begriffen verallgemeinerter topologischer Moduln wurde andererseits eine topologische Theorie der Colombeau`schen Algebren augearbeitet, gemeinsam mit einer zugehörigen Dualitätstheorie. Das Projekt wird sich auf Fragen der Existenz und der qualitativen Eigenschaften von Lösungen partieller Differentialgleichungen im Colombeau`schen Rahmen konzentrieren. Funktionalanalytische Methoden sollen entwickelt werden, welche die nicht klassischen Räume vom Colombeau-Typ einbeziehen, vor allem die dort auftretenden topologischen Ringe und Moduln. Insbesondere wird diese neue mathematische Technologie Surjektionstheoreme sowie notwendige und hinreichende Lösbarkeitsbedingungen liefern. Auf diese Weise wird das weite Gebiet der linearen und nichtlinearen Operatortheorie in die Theorie der Algebren verallgemeinerter Funktionen einbezogen, und es werden neue Forschungswege in der Colombeau`schen Theorie eröffnet. Darüber hinaus soll die Theorie der Variationsungleichungen und der monotonen Operatoren mit Hilfe der neu zu entwickelnden funktionalanalytischen Methoden im Colombeau`schen Rahmen erweitert werden. Diese Theorie ist von zentraler Bedeutung bei der Modellierung linearer und nichtlineaer Probleme in den Natur- und Ingenieurwissenschaften. Auf diese Weise wird der Anwendungsbereich der Variationsmethoden und monotonen Operatoren deutlich vergrößert, indem diese Techniken Problemen mit starken Singularitäten in den Koeffizienten und Daten zugänglich gemacht werden. Das zweite wichtige Thema des Projektes wird eine detaillierte Erforschung des konkreten Spezialfalles von verallgemeinerten Fourierintegraloperatoren sein. Motiviert durch Anwendungen in der geometrischen Theorie partieller Differentialgleichungen und in der Geophysik, wird eine Theorie verallgemeinerter Pseudo- und Fourierintegraloperatoren in Colombeau`schen Algebren auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten entwickelt werden. Mit Hilfe verallgemeinerter mikrolokaler Methoden soll dabei eine vollständige Beschreibung der Wirkung von Fourierintegraloperatoren auf den Dualräumen der Colombeau`schen Algebren erreicht werden.