Lokale Aspekte in der Zeit-Frequenz-Analyse - Thema und Variationen

Die Grundidee der Zeit-Frequenz Analyse ist die simultane Erfassung von Zeit- und Frequenzinformation eines Signals. Um das Verständnis dieser Idee zu erleichtern, wird häufig das Bild und die Funktionsweise einer Notenschrift herangezogen, die die Information, welche Frequenz (Tonhöhe) zu welchem Zeitpunkt erklingen soll, sehr effizient weitergibt. Für das mathematische Verständnis ist dies allerdings ein trügerisches Bild, da die Heisenberg`sche Unschärferelation eine exakte Trennung von Signalkomponenten im Zeit-Frequenz-Bereich verbietet. Diese Tatsache führt in der Analyse von Signalen mithilfe von Gabor Frames zu der Situation, dass zwischen guter Zeit- und guter Frequenzauflösung entschieden werden muss, bzw. häufig ein Kompromiss gewählt wird. Im ersten thematischen Schwerpunkt dieses Projektes wird eine neue Klasse von Frames, genannt "Quilted Gabor Frames (QGF)" untersucht. QGF erlauben durch ihre Konstruktion die Anpassung sowohl des Analysefensters als auch der Zeit- und Frequenzshift Parameter an die Eigenschaften eines betrachteten Signals oder einer Signalklasse. Ein Beispiel wäre die Analyse von Musiksignalen, bei denen es in Bereichen mit tiefen Frequenzen, die gut aufgelöst werden sollen (etwa, um die harmonische Struktur zu verstehen) gut frequenzauflösender und daher breiter Fenster bedarf. Umgekehrt werden in Bereichen der Frequenzebene, in denen perkussive, die zeitliche Struktur charakterisierende Elemente vorherrschen, kurze Fenster und im Zeitbereich dichter gesetzte Samplingpunkte zu optimalen Ergebnissen führen. QGF erlauben dieser Art von Problemstellung angepasste Analysemethoden, indem verschiedene Gabor Frames lokal - im Zeit-Frequenz Sinne - zur Signalanalyse verwendet werden. Da in diesem Modell die Struktur der Heisenberggruppe nicht mehr global genützt werden kann, werden völlig neue Methoden benötigt, um entsprechende Resultate zu erzielen. Eng verbunden mit dieser Idee ist das zweite Hauptthema des Projektes, die Untersuchung von Familien von Zeit-Frequenz- Lokalisationsoperatoren, die von der kontinuierlichen Zeit-Frequenz-Darstellung Kurzzeit Fourier-Transformation abgeleitet sind. Die angestrebte Charakterisierung von verschiedenen Banachräumen mithilfe dieser Operatoren liefert auch wichtige technische Hilfsmittel zur Untersuchung der Eigenschaften der QGF. Weiters soll eine Verallgemeinerung von klassischen Gabor Frames untersucht werden, die mehr als ein Analysefenster in jedem Zeit-Frequenz Samplingpunkt erlaubt (Multi-window Gabor Frames). Hier geht es vor allem um qualitative und quantitative Resultate zur Austauschbarkeit eines Satzes von erzeugenden Fenstern durch einen anderen, in seiner Zeit-Frequenz-Charakteristik ähnlichen. Gabor-Multiplier sind diskrete, d.h. gesampelte Versionen der oben erwähnten Zeit-Frequenz- Lokalisationsoperatoren. Die Analyse zweier Modelle zur Verallgemeinerung von klassischen Gabor-Multipliern stellt den vierten Hauptpfeiler des vorliegenden Projektes dar. In Verallgemeinerung klassischer Gabor-Multiplier wird die Modifikation der Zeit-Frequenz Koeffizienten eines Signale nicht nur durch Multiplikation der einzelnen Koeffizienten, sondern auch durch Interaktion zwischen Koeffizienten in verschiedenen, aber nahen, Zeit- Frequenzpunkten erlaubt. Diese Verallgemeinerung findet Anwendung z.B. in der Modellierung von Kanal- Operatoren in der drahtlosen Kommunikation. Allen vier Eckpfeilern liegen gemeinsame Ideen und Techniken und die Motivation durch konkrete Anwendungen zugrunde. Die erzielten Resultate werden daher - teils mit Partnern aus angewandten Disziplinen - im Rahmen des Projektes auch in angewandten Bereichen umgesetzt werden.