Mean-field games: Numerik und Anwendung

J.-M. Lasry und P.-L. Lions schlugen in einer Arbeit aus dem Jahr 2006 einen Mean-field Ansatz vor, um die strategischen Interaktionen von Handelnden in der Wirtschaft zu beschreiben. Mean-field games basieren auf der Annahme, dass der Entscheidungsprozess eines Handelnden nicht von einzelnen Interaktionen mit anderen abhängt, sondern nur von gewissen Eigenschaften der Gesamtverteilung aller Handelnden. Mean-field Ansätze wurden ursprünglich in der statistischen Physik verwendet, in den letzten Jahren wurden sie aber auch erfolgreich in der Biologie und der Finanzwissenschaft eingesetzt. Ziel dieses Projekts ist die Entwicklung effizienter numerischer Verfahren für Mean-field games und optimale Transportprobleme im Speziellen. Sowohl Mean-field games als auch optimale Transportprobleme können als Minimierungsprobleme formuliert werden. Des weiteres lassen sich verschiedene lineare und nichtlineare partielle Differentialgleichungen auf optimale Transportprobleme zurückführen. Ein Hauptaugenmerk dieses Projekts liegt in der Entwicklung effizienter Optimierungsansätze für Probleme dieser Art, etwa durch Gradientenverfahren und Kaczmarz-ähnliche Algorithmen. Ausserdem wollen wir verschiedene Ansätze für die Diskretisierung von partiellen Differentialgleichungen, die auf optimale Transportprobleme zurückgeführt werden können, analysieren und im Bezug auf Rechengenauigkeit und rechnerischen Aufwand vergleichen, z.B. Newton Verfahren mit semi- impliziten Zeitdiskretisierungen. Ein weiteres Ziel ist die Entwicklung von Partikelmethoden, welche sowohl für Mean-field games als auch optimale Transportprobleme verwendet werden können. Der letzte thematische Schwerpunkt liegt in der Entwicklung numerischer Verfahren für Poisson-Fokker-Planck Systeme mit nichtlinearer Diffusion. Diese Systeme dienen als mathematische Modelle für die chemotaktische Bewegung von Zellen als auch den Transport von geladenen Teilchen in Ionenkanälen. Basierend auf numerischen Verfahren für optimale Transportprobleme wollen wir effiziente numerische Methoden für die Simulation von Ionenkanälen und Nanoporen entwickeln.

Faszinierende Bewegungsabläufe begegnen uns überall in der Natur - sei es die Bewegung von Menschenmassen, Fischschulen oder auch der Transport von geladenen Teilchen in Poren. Diese Bewegungen können verschieden aufgelöst werden. Die genaueste Beschreibung ist die mikroskopische, d.h. jedes Teilchen wird eigenständig betrachtet. Bei einer großen Teilchenanzahl macht es Sinn heraus zu zoomen und die Situation aus der Vogelperspektive zu betrachten, was der markoskopischen Beschreibung entspricht. Die Verteilung der Teilchen definiert dann ein Dichte in Ort und Zeit, deren Evolution in Zeit durch eine markoskopische Gleichung beschrieben wird. Im Übergang von der mikroskopischen Gleichungen für die einzelnen zu der markoskopischen Gleichung für die Dichte haben sich Mean field Limiten als geeignete mathematisches Werkzeug erwiesen.Das Projekt 'Mean field games: Numerik und Anwendungen' befasst sich mit der effizienten numerischen Simulation der makroskopischen Gleichungen am Computer. Diese Gleichungen zeigen ein sehr komplexes Verhalten und erfordern die Entwicklung robuster und exakter numerischer Methoden, um diese Phänomene korrekt zu reproduzieren. Die Entwicklung der numerischen Methoden lief Hand in Hand mit der Analyse der partiellen Differentialgleichungen. Durch diesen intra-disziplinären Ansatz konnten verschiedene Zusammenhänge zwischen etablierten mathematischen Modellen und neuen Modellierungszugängen aufgezeigt werden.Im Zuge des Projekts wurde auch an der Entwicklung des Software Pakets MsSimPore mitgearbeitet. Dieses Paket ermöglicht Wissenschaftlern die Transporteigenschaften von biologischen und synthetischen Poren am Computer zu simulieren und unterstützt somit die effizientere Entwicklung von Sensoren oder Dioden im Bereich der Nanotechnologie.