Mumford-Shah Modelle für die Tomographie II

Das vorgeschlagene Projekt beschäftigt sich mit erst kürzlich etablierten Verfahren des Mumford-Shah Typs für Tomographie-Probleme. Hauptziele sind die Anwendung, die Analyse sowie die Erweiterung solcher Verfahren. Tomographie dient der Bestimmung von Strukturen im Inneren eines Körpers/Objekts rein aus äußerlichen Messungen. Bildgebende Tomographieverfahren werden in der Medizin sowie für zerstörungsfreie Prüftechniken eingesetzt. Solche Verfahren basieren auf dem Zusammenspiel diverser Wissenschaftsdisziplinen wie Reine und Numerische Mathematik ebenso wie Physik und Hard- und Softwaretechnik. So wie die bestehenden Scanvorrichtungen ständig verbessert werden (höhere Auflösung, Verwendung von verschiedenen physikalischen Vorgängen), wollen wir das ebenso für die mathematischen Rekonstruktionsalgorithmen erreichen. Verfahren des Mumford-Shah Typs gehören zu einem neuen Forschungsgebiet in der Mathematik, den geometrischen inversen Probleme. Verfahren diesen Typs bieten eine gleichzeitige Ausgabe von struktureller sowie funktionaler Information. So wäre es zum Beispiel von Vorteil für die Planung von chirurgischen Eingriffen, zusammen mit der Rekonstruktion eine Segmentierung derselben zu liefern. Die bisherige Standardvorgehensweise rekonstruiert zunächst ein Bild (das Körperinnere) und wendet dann auf dieses Bild Segmentierungsalgorithmen ab. Der Hauptnachteil besteht darin, dass die gemessenen Daten ausschließlich zur Rekonstruktion des Bildes und nicht für die Segmentierung verwendet werden. Verfahren des Mumford-Shah Typs wurden im Rahmen des FWF Projekts P19209-N18 eingeführt, untersucht und erfolgreich für Röntgentomographie und SPECT/CT (SPECT steht für Single Photon Emission Computed Tomography) angewendet. Bei SPECT handelt es sich um ein Verfahren der bildgebenden Nuklearmedizin, das es ermöglicht funktionale Informationen sichtbar zu machen, beispielsweise die Durchblutung des Herzmuskels. In dem hier vorgeschlagenen Projekt planen wir Verfahren den Mumford-Shah Typs auf andere tomographische Verfahren auszuweiten, etwa PET (Positronen Emissions Tomography), PET/CT (ein Hybridverfahren aus PET und CT), und Elektronenmikroskopie. Eine Anwendung auf reale, gemessene Daten ist ebenfalls geplant. Des weiteren beabsichtigen wir unterschiedliche Strafterme zu verwenden, um auf die physikalischen Eigenschaften der gemessenen Daten einzugehen. So ist bei PET etwa eine Poisson Statistik aufgrund der Emission von Positronen zu erwarten. Für diese besondere Charakteristik soll der Kullback-Leibler Abstand sowie der EM (expectation maximization) verwendet werden. Um diese Verfahren hinsichtlich ihrer Wohldefiniertheit und Qualität zu beurteilen, werden wir eine Konvergenzanalyse durchführen und gegebenenfalls Regularisierungseigenschaften beweisen.

Mumford-Shah Verfahren sind ein neueres Forschungsgebiet der Mathematik, sie können z.B. bei bildgebenden Tomographieverfahren (Medizin, zerstörungsfreies Prüfen) eingesetzt werden. Hauptergebnisse des Projekts Mumford-Shah Modelle für die Tomographie II sind 1) eine theoretische Analyse des Verfahrens, 2) die Entwicklung eines neuartigen und vielversprechenden Ansatzes für ein Tomographieverfahren mit eingeschränkten Daten, 3) die Anpassung des Verfahrens auf statistische Eigenschaften von Daten, sowie 4) die Teilnahme an einem europäischen Netzwerk-Programm, um Ergebnisse mathematischer Forschung auch außerhalb des akademischen Umfelds bekannt zu machen. Tomographie dient der Bildgebung des Inneren eines Objekts. Außerhalb des Objekts werden dazu Daten gemessen, aus denen dann ein Bild berechnet wird. So wie die bestehenden Scanvorrichtungen ständig verbessert werden, wurden im Rahmen des Projekts mathematische Algorithmen konstruiert, verallgemeinert, implementiert and analysiert. 1) Mathematische Rekonstruktionsverfahren bestehen oft aus einer Vielzahl iterativer Schritte, bei denen jede neue Iteration eine Verbesserung bringt bzw. bringen sollte bis schließlich die gewünschte Rekonstruktion (das Bild des Inneren) erreicht ist. Ein Ergebnis des Projekts ist der Nachweis, dass das Mumford-Shah Iterationsverfahren diese Eigenschaft hat. Die iterativ berechneten Bilder werden immer besser bis sie sich schließlich nicht mehr ändern und die Lösung berechnet ist. Die besondere Eigenschaft, dass Mumford-Shah Verfahren nicht nur ein Bild des Inneren sondern darüber hinaus die im Objekt vorhandenen Übergänge zwischen verschiedenen Materialien berechnen, spiegelt sich in einem neu definierten Konvergenzbegriff wider. 2) Zur Kontrolle eines örtlich begrenzten Krankheitsverlaufs bei gleichzeitger Strahlungsminimierung werden örtlich begrenzte tomographische Messungen erstellt. In diesem Fall können bisherige Standardverfahren nicht eingesetzt werden. Im Rahmen des Projekts wurde ein neues Verfahren entwickelt, das genau auf diese Situation reagiert und vielversprechende Ergebnisse liefert. 3) Bildgebende Tomographieverfahren aus der Nuklearmedizin (PET, SPECT) verwenden ein Radiopharmakon, dessen Gammastrahlung außerhalb des Körpers gemessen wird. Es ist bekannt, dass diese Strahlung einer Poisson-Verteilung folgt. Diese Information wurde bei einer Verallgemeinerung des Mumford-Shah Verfahrens verwendet. Testrechnungen zeigen, dass ein solches datenangepasstes Verfahren teilweise bessere Ergebnisse liefert. 4) Im Rahmen des Projekts beteiligte sich Österreich an einem EU-Netzwerk Programm mit dem Ziel der verbesserten Zusammenarbeit von Forschern, Instituten und Anwendern im Bereich Tomographie. Hier enstanden zahlreiche Möglichkeiten mit realen Daten zu arbeiten, Mumford-Shah Modelle auf Hybrid-Verfahren mit verschiedenen Strahlungsarten anzuwenden und mathematische Ergebnisse einem nicht-mathematischen Publikum vorzustellen und näherzubringen.