Die versteckte Geometrie der Totalvariation

Das Hauptaugenmerk des Forschungsprojektes liegt auf der Bestimmung geometrischer Charakteristiken sowie auf der expliziten Konstruktion von Eigenfunktionen welche die Totalvariation (anisotrop, vektorwertig oder zweiter Ordnung) minimieren. Im Fall von skalarer Totalvariation (TV) bilden die charakteristischen Funktionen von sogenannten kalibrierbaren Mengen Eigenfunktionen. Die maximale Krümmung der Ränder von solchen Mengen ist kleiner als das Verhältnis von Umfang zu Fläche dieser Mengen (geometrische Bedingung). Durch die explizite Berechnung von minimierenden Funktionen ist es möglich den Wert des dualen TV-Funktionales von charakteristischen Funktionen explizit zu berechnen und geometrisch zu interpretieren. Für Vektorfelder sind solche Charakterisierungen noch unerforscht, da die Methoden für den skalaren Fall (co-area-formula, morphologische Filter) nicht direkt auf Vektorfelder anwendbar sind. Wie die folgenden zwei Beispiele aus verschiedenen Anwendungsgebieten zeigen, haben diese theoretischen Überlegungen eine immense praktische Bedeutung. 1.) Parameterbestimmung in der Strömungslehre: In der Strömungsmechanik ist man oft an Materialparametern interessiert bei denen ein Festkörper sich in einer Flüssigkeit nicht mehr bewegt, also bei denen sich Gravitationskraft und Auftrieb gegenseitig aufheben. Im einfachsten Fall kann die Problematik auf ein skalares TV- Minimierungsproblem reduziert werden. Der allgemeine Fall ist jedoch bedeutend komplizierter, hier muss ein duales vektorwertiges TV-Funktional mit Nebenbedingungen minimiert werden. 2.) Hybride Methoden sind unter den erfolgversprechendsten Verfahren der bildgebenden Diagnostik der Zukunft. Hybrid-Imagingtechniken beruhen auf Kopplungen von physikalischen Modalitäten und sind Gegenstand aktueller Forschung, da sie hohe Auflösung ohne Kontrastverlust versprechen. Ein Beispiel für eine solche Methode ist Current Density Impedance Imaging. Dieses Verfahren bestimmt die Verteilung der Leitfähigkeit in Materialien auf nicht-invasive Weise und führt zu mathematisch anspruchsvollen Fragestellungen aus dem Themengebiet der inversen Probleme (Parameteridentifikation). Die meisten Messgeräte können Daten innerhalb, nicht aber am Rand einer Probe messen. Zur vollständigen Berechnung der gesuchten Parameter sind allerdings auch diese Randdaten notwendig. In einigen Anwendungen jedoch genügt es, strukturelle Eigenschaften wie zum Beispiel Sprünge im Material oder Ränder von Tumoren, zu detektieren. Die im Projekt zu erzielenden Resultate ermöglichen es nun, nur mit Messungen innerhalb der Probe, diese strukturellen Eigenschaften unter Verwendung von vektorieller Totalvariation zu rekonstruieren. Allgemein werden in diesem Projekt fundamentale Fragestellungen behandelt, die zu einem besseren Verständnis führen und die Basis für völlig neue Zugänge in Optimierungsproblemen mit Totalvariation liefern.

Partielle Differentialgleichungen (PDE) werden heutzutage für alle möglichen Simulationen numerisch gelöst. Wie sehr kann man solchen numerischen Lösungen trauen wenn man keine Eigenschaften von Lösungen bzw. keine expliziten Lösungen solcher PDEs kennt? Um abzuschätzen ob numerische Verfahren korrekt sind und die wahre Lösung in einer gewissen Art und Weise richtig angenähert wird, ist es von Vorteil explizite Lösungen für einfache Beispiele zu kennen. Ein ganz spezieller Typ von PDEs beinhaltete einen Term der Form 0/0, in Regionen wo die Lösungen konstant ist. Eine Division durch Null ist immer problematisch, und wenn ein ganzer Teil einer Gleichung undefiniert oder nicht eindeutig ist, wird es gleich wesentlich komplizierter diese zu lösen. Um solche Schwierigkeiten zu umgehen schafften wir es die partielle Differentialgleichung in eine Schar von Optimierungsproblemen umzuschreiben die mit einfachen Techniken aus der morphologischen Bildverarbeitung gelöst werden können. Alles was man dazu benötigt ist der Closing-operator. Füllt man mit einer Kreide ein Rechteck aus und löscht dann mit einem kreisförmigen Schwamm das innere, ohne die Kanten des Rechtecks zu berühren, dann hat man eine Closing- Operation auf ein Rechteck angewandt. Mit Hilfe dieses Operators kann man nun komplizierte PDEs durch Optimierung eines Flächen-Umfang Verhältnisses von konvexen Gebieten und dessen morphologischen Abwandlungen lösen. Ein Anwendungsgebiet für eine solche partielle Differentialgleichung liefert das folgende Problem aus der Flüssigkeitsdynamik: Legt man einen unendlich langen Zylinder mit einer beliebigen konvexen Grundfläche vertikal ins Meer, dann kann er entweder oben schwimmen, untergehen oder im Wasser schweben (d.h. er geht weder nach unten noch nach oben). Sein Verhalten hängt nicht nur von der Viskosität des Ozeans und des Zylindermaterials ab, sondern auch vom Verhältnis zwischen Umfang und Fläche der Grundfläche, und dessen morphologischen Variationen. Das Hauptziel des Projektes war es den Zusammenhang zwischen unstetigen PDEs und morphologischen Operationen für mehrdimensionale und höherdimensionale PDEs zu finden.