Langzeitverhalten von Solitongleichungen

Vollständig integrable Wellengleichungen, auch Solitongleichungen genannt, sind ein wichtiges Teilgebiet der Physik, das viele physikalische Phänomene beschreibt. Auch 200 Jahre nach ihrer Entdeckung durch John Scott Russell sind Solitonen von enormen Interesse in der Physik und Mathematik und ihre Erforschung erklärt immer noch neue und faszinierende Phänomene. In diesem Forschungsprojekt soll die Stabilität von Solitongleichungen unter kleinen Störungen der Anfangswellenauslenkung untersucht und das Langzeitverhalten der Lösung studiert werden. Die Lösung zerfällt langfristig in zwei Komponenten: den Solitonenteil, der von den Eigenwerten des zugrundeliegenden Laxoperators erzeugt wird und einen oszillierenden Anteil von dem kontinuierlichen Spektrum des Laxoperators. Insbesondere bilden die Solitonen den unter Störungen stabilen Teil der Lösung. Ziel dieses Forschungsvorhabens ist es, eine mathematisch rigorose Beschreibung dieses Phänomens zu geben und insbesondere den Fall einer "stufenartigen" Anfangswellenauslenkung zu verstehen, bei der die Störung an den beiden Seiten verschieden ist. Ich plane die Untersuchung dieser Situation für die folgenden beiden Modelle: die Toda Gleichung, eine der prominentesten Solitongleichungen; und die Ablowitz-Ladik Gleichung, eine diskrete Version der nichlinearen Schrödingergleichung. Die nichtlineare Schrödingergleichung beschreibt die Zeitentwicklung von sich langsam ändernden Wellenpaketen kleiner Auslenkung in einem nichtlinearen Medium und kommt in so unterschiedlichen Gebieten wie Tiefwasserwellen, Plasmaphysik und nichtlinearen optischen Fasern vor. Die für die Modelle entwickelten Methoden und Ideen werden auf alle Solitongleichungen einer räumlichen Dimension anwendbar sein.

Vollständig integrable Wellengleichungen, oder Solitonengleichungen, sind von enormem Interesse in der Physik und Mathematik und erklären neue, faszinierende Phänomene. Ziel war es, die Stabilität von Solitonengleichungen unter kleinen Störungen der Anfangswellenauslenkung zu untersuchen und das Langzeitverhalten der Losung zu verstehen. Unsere Hauptresultate erzielten wir für die Todagleichung, die die Dynamik einer linearen Kette von Massepunkten modelliert, in der nur benachbarte Teilchen miteinander wechselwirken. Wir wollten verstehen was passiert, wenn die Kette Shock-artigen oder Rarefaction-artigen Anfangsbedingungen ausgesetzt wird, also stufenförmige konstante Anfangsdaten gegeben sind. In diesem Fall besteht das kontinuierliche Spektrum des zugrundeliegenden Laxoperators aus zwei Intervallen, die überlappen können. Die relative Lage dieser Intervalle zueinander bedingt ein essenziell unterschiedliches Verhalten der asymptotischen Losungen. Diese Wellenphänomene, bekannt als Toda Shock und Toda Rarefaction Problem, wurden numerisch entdeckt; eine mathematisch rigorose Untersuchung gelang bis jetzt nur für einige spezielle Anfangswerte. Für das Toda Shock Problem zeigten wir, dass sich die Halbebene der Raum/Zeit- variablen in fünf Hauptregionen gliedert, begrenzt durch kritische Werte, die wir exakt berechneten: In die beiden Solitonregionen weit außerhalb, wo die Losung fast die ungestörte Hintergrundlösung plus eine Anzahl von Solitonen ist (verursacht durch die Eigenwerte des Laxoperators); in eine mittlere Region, wo die Losung asymptotisch durch eine 2-Band Todalösung beschrieben wird (die den beiden Intervallen des Laxoperators entspricht); und in zwei Regionen dazwischen, wo die Losung asymptotisch eine langsam modulierte 2- Band Todalösung ist (die einer graduellen Verkürzung eines der Intervalle plus dem vollen zweiten Intervall entspricht). Die Form dieser Losung in den Zwischenregionen verifiziert die Vermutung von Venakides, Deift und Oba aus dem Jahr 1991. Für Toda Rarefaction gliedert sich die Halbebene in vier Hauptregionen: zwei Solitonregionen außerhalb und zwei Regionen, in denen die asymptotische Losung einem graduellen Abstieg entspricht (assoziiert mit der graduellen Verkürzung des Intervalls). Wir beschreiben die Losungen in allen Regionen für Shock und Rarefaction Anfangsbedingungen mathematisch rigoros. Die Todagleichung findet Anwendung in so verschiedenen Gebieten wie Lichtwellenleiterkabeln und Plasmaphysik. Die entwickelten Methoden und Ideen lassen sich für andere Solitonengleichungen in einer räumlichen Dimension adaptieren, insbesondere haben wir sie für die Korteweg-de Vries Gleichung angewendet. Geforderte Forscherinnen: Johanna Michor (Uni Wien), Iryna Egorova (ILT, Kharkov)