Untersuchungen zum getwisteten dbar-Komplex

Funktionen mehrerer komplexer Veränderlicher treten in vielen Bereichen der Mathematik in Erscheinung, so daß das Gebiet der Komplexen Analysis in mehreren Variablen ein wichtiges Teilgebiet der Analysis darstellt. In der Komplexen Analysis in mehreren Variablen werden viele Methoden und Werkzeuge aus anderen Zweigen der Mathematik, wie zum Beispiel Partielle Differentialgleichungen, Funktionalanalysis, Harmonische Analysis, Differentialgeometrie und algebraische Geometrie, benutzt. Tatsächlich sind die Verbindungen der Komplexen Analysis zu diesen Bereichen so stark, daß häufig Methoden, die in der Komplexen Analysis entwickelt worden, von großem Nutzen für einige der anderen Gebiete sind. Zum Beispiel ist die Theorie der Pseudodifferentialoperatoren, die entwickelt wurde, um ein bestimmtes Problem in der Komplexen Analysis zu lösen, wesentlich für die Theorie der linearen partiellen Differentialgleichungen. Mein Hauptinteresse ist die Komplexe Analysis in mehreren Variablen und ihre Verbindung zum Gebiet der Partiellen Differentialgleichungen. Diese Verbindung kommt hauptsächlich durch die Cauchy-Riemannschen (CR) Differentialgleichungen zustande; holomorphe Funktionen sind Lösungen der homogenen CR-Gleichungen, und das Lösen des inhomogenen Systems ist ein hilfreiches und wichtiges Werkzeug in der Komplexen Analysis in mehreren Variablen. Ein ergiebiger Ansatz zur Lösung der inhomogenen CR-Gleichungen ist es, Perturbationen des dbar-Komplexes, der den CR-Gleichungen zugehörige Komplex, zu analysieren. Im beantragten Projekt möchte ich eine spezielle Perturbation des dbar-Komplexes betrachten, den sogenannten getwisteten dbar-Komplex, um Fragen bezüglich der Existenz und Regularität von Lösungen der CR-Gleichungen zu studieren. Insbesondere möchte ich analysieren, welche Wahlen von Twistfaktoren vernachlässigbar sind für bestimmte analytische Abschätzungen, die wichtig sind für das Verstehen des Verhaltens von Lösungen der CR- Gleichungen. Mein Projekt beinhaltet folgende Themenbereiche: Subelliptizität des dbar-Neumann Operators, globale Regularität und eine Glättungseigenschaft der Bergmanprojektion, Kompaktheit des dbar-Neumann Operators, die geschlossene Bildeigenschaft des dbar-Operators auf bestimmten Gebieten, die nicht pseudokonvex sind, die Konstruktion von glatten Lösungen der inhomogenen CR-Gleichungen auf dem sogenannten Wurmgebiet, und konvexitätsähnliche Bedingungen in der Komplexen Analysis in mehreren Variablen.

Das wichtigste, wissenschaftliche Resultat des Projekts war die Entdeckung von Glättungseigenschaften der Bergman Projektion (in gemeinsamer Arbeit mit J. D. McNeal, E. J. Straube).Im Fach der Komplexen Analysis in mehreren Veränderlichen sind holomorphe Funktionen von besonderem Interesse. Ein Ansatz holomorphe Funktion (und ihre Eigenschaften) auf einem gegebenen Gebiet zu analysieren, ist die zum Gebiet zugehörige holomorphe Bergman Projektion (und seine Eigenschaften), zu verstehen. Die Bergman Projektion ist ein Operator, der auf den quadrat-integrierbaren Funktionen wirkt und quadrat-integrierbare, holomorphe Funktionen auf eine bestimmte Art und Weise reproduziert. Ein Operator wirkt glättend, wenn die Ausgabe des Operators in einem gewissen Sinne glätter ist als der eingegebene "Wert". Die Bergman Projektion ist der Identitätsoperator auf den quadrat-integrierbaren, holomorphen Funktionen, d.h., diese holomorphen Funktionen werden auf sich selbst abgebildet. Da holomorphe Funktionen nicht unbedingt (bis zum Rand des betrachteten Gebiets) glatt sind, sind etwaige Glättungseigenschaften des Operators weniger erwartbar.Eine anfängliche Untersuchung, mit Benutzung von Methoden, die aus dem Studium des getwisteten dquer-Komplexes stammen, gab zu erkennen, dass genügend "Raum" für Glättungseigenschaften vorhanden ist. Mit Hilfe von Techniken aus der Funktional Analysis war es dann möglich, Glättungseigenschaften unter sehr allgemeingehaltenen Gegebenheiten herzuleiten. Diese Techniken führten dann auch zur Erkenntnis, dass dieses Phänomen auch für eine allgemeinere Klasse von Projektionsoperatoren gilt.