Irreguläre Spline-Type Räume und Fast Periodische Funktionen

Die Theorie der shift-invarianten Räume behandelt unter anderem Frames regelmäßiger Verschiebungen von Basisfunktionen und ihre Eigenschaften werden mithilfe der Theorie periodischer Funktionen, insbesondere der harmonische Analyse, untersucht. Die Einführung irregulärer Verschiebungen führt zu interessanten Verallgemeinerungen dieser Frames und ergibt sich natürlich aus Anwendungen wie non-uniform Sampling (nicht- reguläre Abtastwerte) oder der Interpolation in gewichteten Sobolev-Räumen. Die Methodik der Analyse des regulären Falles ist jedoch unzureichend für den allgemeinen Fall. Es ist daher Ziel des beantragten Projektes, neue Werkzeuge zur Untersuchung nicht-regulärer System von verschobenen Basisfunktionen zu entwickeln, insbesondere durch die Verbindung zu fast-periodischen Funktionen, Faltungsresultaten in Wiener Amalgam Räumen sowie den Lokalisationseigenschaften der Erzeugendenfamilien. Aufgrund der Bedeutung von in Wiener Amalgam Räumen in der Theorie der Spline Type Räume, wurde die Theorie der fast-periodischen Funktionen bisher kaum im Kontext nicht-regulärer Frames in Betracht gezogen. Das erste Ziel des vorgelegten Projektes ist die Herleitung der Verbindung zwischen fast-periodischen Funktionen und Familien nicht-regulärer Verschiebungen und nicht-regulärer Gabor Systeme. Neue mathematische Begriffe, wie Gramfunktion und Grammatrix für nicht-reguläre Systeme Verschobener werden eingeführt. Ihre Eigenschaften können anhand der Beziehungen zwischen Verschiebungszahlen und Bohrspektrum von fast- periodischen Funktionen hergeleitet werden, um Bedingungen an das erzeugende Fenster und die Samplingmenge, die die Frame- oder Rieszbasiseigenschaft bedingen, zu untersuchen. Für nicht-reguläre Gabor Familien wird eine Walnut-Darstellung eingeführt und der Frameoperator anhand dessen untersucht. Die erzielten Resultate werden die Theorie des fast-periodischen Funktionen sowie Teilgebiete der Mathematik, in denen diese relevant sind, z.B. Systemtheorie und Quasikristalle, bereichern. Das zweite Hauptthema des Projektes ist, in enger Verbindung mit den bereits genannten Zielen, die Konstruktion und Untersuchung approximativer dualer Systeme. Typischerweise stellt der Frameoperator zu nicht-regulären Frames von Verschiebungen wenig Struktur zur Verfügung, die bei der Inversion hilfreich sein kann. Darüber hinaus verlieren duale Systeme die aus der Anwendung des inversen Frameoperators auf den ursprünglichen Frame hervorgehen, im Allgemeinen ihre Struktur, d.h. sind keine Frames von Verschiebungen mehr. Unter Verwendung von Lokalisationstheorie und der "Finite-Sections"-Methode angewandt auf die Grammatrix werden approximative duale Systeme konstruiert, die akzeptable Rekonstruktionsfehler liefern. Mithilfe des Konzeptes von Abständen zwischen Teilräumen kann der Rekonstruktionsfehler näher quantifiziert werden. Der dritte Schritt des Projektes ist die Anwendungen der entwickelten Theorie auf nonuniform Sampling (abtasten mit unregelmäßigen Abtastschritten) in irreguläre Spline-type Räumen die durch irreguläre Rieszbasen erzeugt werden. Die Berechnung einer approximativen dualen Rieszbasis wird eine approximative Rekonstruktionen zur Verfügung stellen und damit eine Alternative zu den bisher verfügbaren iterativen Algorithmen. Die drei Hauptthemen sind durch gemeinsame Ideen und technische Werkzeuge sowie die Motivation durch konkrete Anwendungen verbunden. Die erzielten Resultate werden daher teils mit Partnern aus den angewandten Wissenschaftsdisziplinen im Kontext des Projekte mit Augenmerk auf "real-life" Anwendungen realisiert werden.

Einer der Eckpfeiler der digitalen Signalanalyse ist das sogenannte Abtasttheorem, nach dem ein bandbegrenztes Signal oder allgemeiner ein Signal, das ein Element eines verschiebungsinvarianten Raums ist, vollständig aus den Abtastwerten eines beliebigen Menges rekonstruiert werden kann von ausreichend dichten regelmäßigen Punkten. In den letzten Jahren gab es großes Interesse an ungleichmäßiger Probennahme, motiviert durch reale Situationen, in denen regelmäßige Proben möglicherweise nicht erhalten werden können, wie z. B. in der Kommunikationstheorie, der medizinischen Bildgebung oder astronomischen Messungen. Sampling-Probleme werden am besten durch die Theorie der Frames angegangen. Frames sind Sammlungen von Funktionen, sodass jede andere Funktion als ihre lineare Kombination geschrieben werden kann. Eine besondere Art von Frames sind Translationsframes und insbesondere Gabor-Frames. Dies sind Sammlungen von einer oder mehreren Funktionen, die durch einen diskreten regulären oder unregelmäßigen Menge verschoben werden. Regulärer Frames entstehen bei der Untersuchung von verschiebungsinvarianten Räumen, und ihre Spanneigenschaften werden unter Verwendung der Fourier-Analyse periodischer Funktionen analysiert. Das Einführen unregelmäßiger Verschiebungen führt zu einer interessanten und nützlichen Verallgemeinerung jener Systeme, die natürlicherweise bei ungleichmäßigen Abtastproblemen auftreten. Unregelmäßige Frames von Übersetzungen können jedoch nicht durch Nachahmung der Methoden des regulären Falls analysiert werden. In diesem Projekt wurde die Theorie der unregelmäßigen Rahmen für Modellsätze entwickelt. Modellmengen sind Mengen von Punkten, die von bestimmten orthogonalen Projektionen von Gitterpunkten in höheren Dimensionen stammen. Das wichtigste Ergebnis des Projekts ist die Charakterisierung des Frame-Operators, der mit Translate-Frames für Modellsätze bzw. Gabor-Frames für Modellsätze verbunden ist. Für Gabor-Rahmen auf Gittern ist eine Darstellung des Gabor-Rahmenoperators in der Literatur als Janssen-Darstellung bekannt. Eine solche Charakterisierung in Form von fast periodischen Funktionen und ihrer Fourier-Reihenentwicklung ermöglicht es, Bedingungen für das Paar von Familien zu formulieren, damit sie zueinander dual sind. Für viele Modellsätze ist es nicht möglich, Paare von dualen Systemen zu finden, die beide Frames of Translate bzw. Gabor-Frames sind. In solchen Situationen können wir ungefähre Doppelrahmen von Translationen oder Gabor-Rahmen finden und eine Funktion mit einer gewünschten Genauigkeit rekonstruieren. Solche Systempaare ermöglichen die Analyse und Synthese von Funktionen aus verallgemeinerten Proben, das heißt innere Produkte eines Signals mit Mitgliedern eines der erzeugenden Systeme. Als Teil der entwickelten Theorie liefern wir auch Näherungsfehler.