Universelle Strukturen in Finanzmathematik

Der Titel dieses Antrag Universelle Strukturen in Finanzmathematik bezieht sich buchstäblich auf Finance und Mathematik. Vom Finance Gesichtspunkt aus, meinen wir robuste empirische Merkmale, die universell über verschiedene Finanzmärkte, Aktienklassen und insbesondere über die Zeit zu beobachten sind. Auf der mathematischen Seite handelt es sich um universell auftretende Modellklassen und probabilistische Eigenschaften, die vielen auf den ersten Blick nicht verwandten Phänomenen eigen sind. Diese Universalität mag überraschend klingen, da Finanzmärkte sicherlich nicht einem Naturgesetz gehorchen, wie es etwa in der Physik der Fall ist. Doch selbst wenn das Finanzwesen eher als soziales Phänomen erscheint, gibt es universelle Marktstrukturen. Lassen Sie uns dies an zwei wichtigen Beispielen illustrieren, die einige der wichtigsten Fragen der modernen Finanzmathematik aufwerfen: erstens die Stabilität von Kapitalverteilungskurven im Zeitverlauf. Dies sind Kurven, die die relative Marktkapitalisierung börsennotierter Unternehmen in ihrer Rangfolge zeigen. Die Marktkapitalisierung ist eine öffentlich bekannte Zahl: Sie ist die Anzahl der ausstehenden Aktien multipliziert mit dem aktuellen Wert einer Aktie. Die relative Marktkapitalisierung ist definiert als der Prozentsatz der Marktkapitalisierung eines Unternehmens relativ zur Kapitalisierung des gesamten Marktes. Das auffällige Merkmal dieser Kurven ist ihre bemerkenswert stabile Form in den vergangenen 90 Jahren, unbeeindrucktvonKrisenzeitenoder florierenderWirtschaft. Diese grundlegende Beobachtung war der Ausgangspunkt für den Mathematiker R. Fernholz, das Gebiet stochastische Portfoliotheorie vor etwa 20Jahren zu entwickeln. Seitdem wurden dieses Kapitalverteilungskurven in vielen Fällen entdeckt, zuletzt auch auf dem neuen Markt der Kryptowährungen. Das zweite universelle Phänomen, das wir untersuchen werden, heißt Raue Volatilität. Dieses Raue- Volatilitäts-Paradigma bedeutet, dass die Volatilität, d.h. die Variation der Aktienkurse über die Zeit, sehr oszillatorisch ist und stark schwankt, mehr als beispielsweise Brownsche Teilchen. Dieses Verhalten wurde kürzlich für mehr als 2000 Aktien getestet und bestätigt. Überraschenderweise gibt es einen gemeinsamen mathematischen Rahmen für beide Phänomene. Dieser erlaubt, universelle Phänomene aus dem Finanzwesen mit universellen mathematischen Methoden zu behandeln, d.h. Strukturen, die in vielen verschiedenen Situationen immer wieder auftreten. Es ist das erste Mal, dass zwei Hauptfelder der Finanzmathematik, stochastische Portfoliotheorie und stochastische Volatilitätsmodellierung, von einem gemeinsamen Blickwinkel aus betrachtet werden, nämlich aus der Perspektive der oben beschriebenen universellen Strukturen. Wir sind der Meinung, dass auch andere Bereiche, etwa Fragen des systemischen Risikos, in diesem neuen Licht betrachtet werden können.