3D hp Finite Elemente: Schnelle Löser und Adaptivität

Mechanische Deformationen, magnetische Felder und viele weitere Problemstellungen aus Wissenschaft und Technik können mit partiellen Differentialgleichungen mathematisch beschrieben werden. Die Finite-Elemente- Methode (FEM) ist die wohl leistungsfähigste Methode zur Computersimulation dieser Modelle. Dabei wird das zu berechnende Objekt in viele kleine Elemente wie Dreiecke, Tetraeder oder Quader zerlegt. Bild 1 zeigt ein Finite- Elemente-Netz einer Kurbelwelle. Diese Elemente werden verwendet, um Feldfunktionen wie eine mechanische Deformation oder ein Magnetfeld näherungsweise darzustellen. Eine Möglichkeit ist es, in allen Eckpunkten der Elemente einen Funktionswert anzusetzen und dazwischen linear zu interpolieren. Damit erhält man eine Beschreibung des Problems. Doch um die Lösung zu bestimmen, muss noch ein großdimensionales Gleichungssystem aufgelöst werden. Das Ergebnis, d. h. der Feldverlauf, kann dann graphisch dargestellt werden, und Kennzahlen können aus der Lösung extrahiert werden. Bild 2 zeigt die Verteilung der Materialspannungen in dieser Kurbelwelle. Dank der sehr rasch wachsenden Rechenleistung heutiger Computer können immer kompliziertere Modelle immer genauer gelöst werden. Dabei kann man sagen, je größer das Problem wird, umso wichtiger sind effiziente Algorithmen. Bei der Finite-Elemente-Methode sind dabei vor allem zwei Aspekte entscheidend: Erstens, wie wird die Feinheit des Netzes gesteuert? In kritischen Bereichen müssen viele, kleinere Elemente verwendet werden, während in anderen Bereichen weniger große Elemente ausreichend sind. Diese Netzsteuerung soll durch adaptive Algorithmen automatisch erfolgen. Der zweite wichtige Punkt ist der Gleichungslöser. Bei konventionellen Algorithmen wie beim Gauß`schen Eliminationsverfahren wächst die benötigte Rechenzeit überproportional mit der Problemgröße an. Moderne Verfahren hingegen arbeiten iterativ. Dabei wird durch gute Schätzverfahren die Lösung sukzessive verbessert. Damit kann ein proportionaler Zusammenhang von Problemgröße und benötigter Rechenzeit erreicht werden. Eine Version der FEM ist die sogenannte h-Version. Hier wird die Genauigkeit durch die Anzahl der Elemente gesteuert. Der Spannungsverlauf in Bild 2 wurde z. B. unter Verwendung von 2 Millionen Unbekannten bestimmt. Eine andere Variante der FEM, die p-Version, arbeitet auf einem fixen Netz, und erhöht die Anzahl der Parameter pro Element. Der Vorteil dieser Methode ist, dass glatte Funktionen mit Polynomen höherer Ordnung sehr gut angenähert werden können. Lokale Effekte, wie z. B. die Spannungssingularitäten in den Kerben können wiederum durch feinere Netze besser beschrieben werden. Die hp-Version verbindet nun beide Vorteile. Es werden sowohl die Netzfeinheit als auch der Polynomgrad variiert. Damit kann extrem (exponentiell) schnelle Konvergenz erreicht werden. Mit dem aktuellen Stand der Forschung bei der hp-Version können zweidimensionale Probleme zufriedenstellend gelöst werden. Für dreidimensionale Probleme sind sowohl die automatische Netzsteuerung als auch schnelle, iterative Gleichungslöser heiße Eisen in der Forschung. Der Projektleiter ist in der Theorie und in der praktischen Umsetzung der h-Version der FEM erfahren. Ziel dieses START Projektes ist es, wesentlich zur Theorie der hp- Version beizutragen, als auch die entsprechende Software zur Computersimulation von Real-Life-Problemen zu entwickeln.

Mechanische Belastungen in Maschinenteilen, elektromagnetische Felder in einem Transformator, und viele weitere Anwendungen aus Naturwissenschaften und Technik lassen sich über sogenannte partielle Differentialgleichungen mathematisch beschreiben. In diesem Startprojekt haben wir an der Entwicklung, der mathematischen Analyse und der Implementierung von Algorithmen zur effizienten Computersimulation von solchen Modellen gearbeitet. Mit diesen Werkzeugen kann ein Entwicklungsingenieur sein Produkt schon frühzeitig genau analysieren, und bezüglich Materialkosten, Energieeffizienz, Sicherheit und Lebenszeit, und weiteren Kriterien optimieren. Ein technischer Anwendungsbereich ist der Maschinenbau und die Baustatik. Hier müssen die inneren Reaktionskräfte einer mechanischen Struktur aufgrund von äußeren Kräften berechnet werden, wie z.B. die Belastung einer Dachkonstruktion unter der Schneelast. Einerseits soll meist Gewicht eingespart werden, andererseits muss die Auslegung der größten erwarteten Belastung standhalten. Ein anderer wesentlicher Anwendungsbereich im Startprojekt war die Elektrotechnik. Hier interagieren elektrische Ströme mit magnetischen Feldern, und führen z.B. durch Erwärmung zu Energieverlusten. Das gemeinsame Prinzip dieser Aufgabenstellungen ist, dass verteilte Feldgrößen berechnet werden müssen. Die sogenannte Finite Elemente Methode ist die flexibelste und leistungsfähigste Methode dazu. Hier wird das zu berechnende Objekt mit einem Gitter überdeckt, und auf diesem werden die Feldgrößen repräsentiert. Abhängig von der physikalischen Bedeutung des Feldes werden Punktwerte in den Gitterknoten, Mittelwerte in den Gitterzellen, oder Flüsse verwendet. Um hohe Genauigkeit zu erzielen, müssen entweder sehr feine Gitter verwendet werden, oder man wählt schlaue Methoden hoher Ordnung um die Feldgrößen darzustellen. Die hp- Version der Finite Elemente Methode versucht beide Methoden zu verbinden, um ein optimales Verhältnis von Genauigkeit zu Aufwand zu erzielen. In diesem Startprojekt haben wir neue hp Finite Element Methoden entwickelt um elektromagnetische Felder, als auch mechanische Felder zu berechnen. Um die Felder darzustellen, werden viele Parameter (mehrere Millionen) benötigt, die durch Lösen eines Systems von Gleichungen bestimmt werden müssen. Dies ist typischerweise der aufwändigste Schritt bei der Simulation. Wir haben dazu optimale iterative Gleichungslöser entwickelt. Insbesonders für elektromagnetische Felder haben wir neue Techniken zur mathematischen Analyse solcher Verfahren entwickelt. Letztendlich muss auch die Qualität der Simulationsergebnisse beurteilt werden. Dazu haben wir Methoden entwickelt um einerseits die Genauigkeit garantieren zu können, und andererseits auch nicht zu pessimistische Fehlerprognosen zu geben. Der effizienten Implementierung der mathematischen Algorithmen wurde große Bedeutung gegeben. Die entwickelten Programme Netgen und NGSolve stehen nun als freie Software zur Verfügung, und werden an Universitäten und in der Indutrie vielfältig eingesetzt.