Isoperimetrische Ungleichungen und Integralgeometrie

Zwischen der Theorie affin-isoperimetrischer Ungleichungen und der Theorie der Bewertungen auf konvexen Körpern - einem wichtigen Teilgebiet der modernen Integralgeometrie - sind in den letzten Jahren enge Verbindungen entstanden. Diese neuen Beziehungen basieren auf dem Umstand, dass viele fundamentale affin- isoperimetrische Ungleichungen Operatoren involvieren, die mit linearen Transformationen verträglich sind, z.B. Projektionen- und Schnittkörper Abbildungen. Wie erst vor kurzem gezeigt wurde, liegt der tiefere Grund für die besondere Rolle dieser Operatoren darin, dass sie die einzigen mit affinen Abbildungen verträglichen Bewertungen sind. Durch diese Charakterisierungen wurden darüber hinaus neue körperwertige Bewertungen entdeckt, welche in Folge zur Verschärfung einer Reihe affin-isoperimetrischer Ungleichungen geführt haben. Diese Ungleichungen wiederum bilden den geometrischen Kern neuer scharfer affin-analytischer Ungleichungen, wie etwa affiner Sobolev und log-Sobolev Ungleichungen. Obwohl sich ein großer Teil der Theorie körperwertiger Bewertungen mit Operatoren beschäftigt, die mit volumserhaltenden linearen Abbildungen verträglich sind, wurden in den letzten Jahren große Anstrengungen unternommen, um auch stetige Minkowski Bewertungen die nur mit Bewegungen des Raumes kompatibel sind, zu klassifizieren. Diese Resultate haben wiederum ein neues Licht auf eine Reihe affin-geometrischer Ungleichungen geworfen, da sich gezeigt hat, dass diese Ungleichungen für die größere Klasse von körperwertigen Bewertungen, die mit der Bewegungsgruppe verträglich sind, Gültigkeit besitzen. Die hier bisher erzielten Resultate scheinen aber erst die Spitze eines Eisbergs zu sein. Ein Ziel dieses Projekts ist es die Theorie der Bewertungen systematisch auszunutzen, um das darunterliegende größere Bild aufzudecken und so unser Verständnis vieler fundamentaler affin-isoperimetrischer Ungleichungen neu zu gestalten. Es sollte dabei nicht nur klar werden, dass diese Ungleichungen in einem viel größeren Kontext gelten als bisher angenommen, sondern auch die volle Stärke dieser Ungleichungen im Vergleich zu ihren euklidischen Analoga herausgearbeitet werden. Neue Charakterisierungen von körperwertigen Bewertungen werden dabei eine Schlüsselrolle spielen. Die Theorie der translationsinvarianten skalarwertigen Bewertungen hat in den letzten Jahren eine Reihe bemerkenswerter Entwicklungen durchgemacht. Insbesondere konnte durch die Einführung neuer algebraischer Strukturen das Verständnis für die Integralgeometrie von Gruppen, die transitiv auf der Sphäre agieren, deutlich verbessert werden. Ein weiteres Ziel dieses Projekts ist die Einführung einer vergleichbaren algebraischen Maschinerie für körperwertige Bewertungen, die ein Hilfsmittel bei der Lösung der wichtigsten offenen Fragen im Bereich affin-isoperimetrischer Ungleichungen darstellen soll. Die neue Idee dabei ist es diese Probleme im richtigen, größeren Kontext von Bewertungen, die mit Bewegungen verträglich sind, zu betrachten und auszunutzen, dass in dieser Klasse von Operatoren mehr algebraische Struktur vorhanden ist.

Das zentrale Anliegen dieses START Projektes war die Entwicklung eines tieferen Verständnisses der Beziehungen zwischen der Theorie isoperimetrischer Ungleichungen und der Bewertungstheorie, welche einen wesentlichen Teil der modernen Integralgeometrie ausmacht und sich mit dem Studium geometrischer Funktionale beschäftigt, die eine Berechnung durch Partition zulassen. Die Brücke zwischen diesen beiden bisher kaum verwandten Gebieten beruht auf dem Umstand, dass viele wichtige isoperimetrische Ungleichungen der konvexen geometrischen Analysis entweder direkt fundamentale Relationen zwischen gewissen (invarianten) Bewertungen darstellen oder die in den Ungleichungen involvierten Funktionale sich von Bewertungen ableiten. Im letzteren Fall handelt es sich hauptsächlich um Bewertungen, die Werte in der Menge der konvexen Körper annehmen, durch tomographische Daten, wie etwa Projektionen und Schnitte, definiert werden und mit volumserhaltenden affinen Abbildungen bzw. lediglich mit den Bewegungen des Raumes verträglich sind. Die Hauptresultate des Projektes können grob in zwei Kategorien eingeteilt werden. Einerseits haben neue Darstellungssatze für Bewertungen mit Werten in den konvexen Körpern große Klassen natürlicher Objekte und damit verbundene geometrische Invarianten ans Licht gebracht. Dadurch konnten wohluntersuchte Großen verallgemeinert und die Bedeutung klassischer Invarianten unterstrichen werden. Andererseits hat die systematische Anwendung der neuen Integraldarstellungen eine frische Sichtweise auf verschiedene affin- geometrische Ungleichungen ermöglicht, welche affin-verträgliche Bewertungen involvieren, da diese für die viel großer Klasse von Bewertungen, die bloß mit der Bewegungsgruppe kommutieren, bewiesen wurden. Darüber hinaus konnte die größere Leistungsfähigkeit affiner Ungleichungen im Vergleich zu deren Euklidischen Gegenstücken bestätigt werden. So wurden zum Beispiel die berühmte BlaschkeSantalò Ungleichung und Pettys Projektionenungleichung, letztere ist eine stärkere Version der klassischen isoperimetrischen Ungleichung, auf eine große Familie von sogenannten Minkowski Bewertungen, die mit der Bewegungsgruppe vertauschen, verallgemeinert. Im Gegenzug haben diese neuen geometrischen Ungleichungen praktisch mühelose Beweise von Sobolev-artigen Ungleichungen für Funktionen ermöglicht. Eine neue Idee, die sich in den Beweisen verschiedener Resultate wiederfindet, war, die reiche algebraische Struktur auf dem Raum der translations-invarianten skalarwertigen Bewertungen im Kontext von Minkowski Bewertungen auszunutzen.