Robustes Hedgen und Optimaler Transport

Die Theorie des optimalen Massentransports geht zurück auf Monge (1781) und Kantorowitsch (1942). In der jüngeren Vergangenheit erfuhr dieses Gebiet angeregt durch den Satz von Brenier, sowie McCanns grundlegende Dissertation einen großen Aufschwung. Es ist heute für seine große Bandbreite von Anwendungen in verschiedensten Teilgebieten der Mathematik bekannt; von Mathematischer Physik, der Theorie partieller Differentialgeleichungen bis hin zu geometrischen Ungleichungen. Die modellunabhängige Finanzmathematik ist deutlich jünger, hat sich jedoch rasch zu einem eigenständigen Gebiet entwickelt. Übergroßes Vertrauen in mathematische Modelle sowie das Unvermögen, das Modellrisiko zu berücksichtigen, wird für Finanzkrisen mitverantwortlich gemacht. Ziel der modellunabhängigen Finanzmathematik ist es, das Modellrisiko zu verstehen sowie dessen Auswirkungen zu quantifizieren. Die Verbindung dieser beiden Gebiete ( jüngst von Galichon, Henry-Labordere, Penkner, Touzi und dem Antragsteller entwickelt) steht im Zentrum unserer Forschung. Grundlegender Ausgangspunkt ist folgender: Interpretiere die zeitliche Entwicklung eines Martingals S als eine Methode Verteilungen von einem Zeitpunkt zum nächsten zu transportieren. Das Martingal-Transportproblem ergibt sich aus der Perspektive der modell-unabhängigen Finanzmathematik: Sei S der Preis einer Aktie, dann bestimmen Marktdaten im Wesentlichen die Verteilungen von S zu einzelnen Zeiten. Unklar ist, wie sich S von einem zum nächsten Zeitpunkt bewegt. Das Problem extremale Preise zu finden entspricht dem Transportproblem für Martingale. Optimal Transport liefert eine Dualitätstheorie für modellunabhängige Finanzmathematik. Ein Hauptziel des Antrags ist es, diese in der notwendigen Allgemeinheit zu entwickeln. Anwendungen gehen über die Finanzmathematik hinaus. Es ist dem Antragssteller und seinen Koautoren so gelungen, neue, elementare Beweise der Ungleichungen von Doob und Burkholder- Davis-Gundy zu geben. Der duale Zugang scheint wie geschaffen zur Behandlung einer ganzen Reihe von analytischen und Martingal-Ungleichungen. Die Transporttheorie verfügt über gut entwickelte Optimalitätskriterien. Resultate des Antragsstellers erlauben es, diese in ein Variationsprinzip für den Martingaltransport zu übersetzen. Anwendungen reichen von Breniers Satz bis hin zum Skorokhod`schen Einbettungsproblem. Dieses Prinzip erlaubt einen systematischen Zugang zur modellunabhängigen Preisbestimmung, es zeichnet einen numerisch gangbaren Weg zur Berechnung der optimalen, robusten Schranken vor und erlaubt die Charakterisierung der Gleichheitfälle scharfer Ungleichungen.

Die Theorie des optimalen Massen-Transports geht zurück auf Monge (1781) und Kantorowitsch (1942). In der jüngeren Vergangenheit erfuhr dieses Gebiet - angeregt durch den Satz von Brenier, sowie McCanns grundlegende Dissertation - einen großen Aufschwung. Es ist heute vor allem für seine große Bandbreite von Anwendungen in verschiedensten Teilgebieten der Mathematik bekannt; von Mathematischer Physik, der Theorie partieller Differentialgeleichungen bis hin zu geometrischen Ungleichungen. Die Disziplin der modellunabhängigen Finanzmathematik ist deutlich jünger, hat jedoch - ausgehend von Hobsons fundamentaler Arbeit über Look-back Optionen - eine rasante Entwicklung durchlaufen. Im Gegensatz zur klassischen Finanzmathematik, die versucht unter spezifischen Modellannahmen einen exakten Preis zu bestimmen, besteht das Ziel der modell-unabhängigen Finanzmathematik darin, konservative aber robuste Schranken für Optionspreise zu bestimmen. Im Rahmen des START-Projekts haben wir Verbindungen zwischen diesen bisher nicht miteinander verbundenen Bereichen hergestellt. Grob gesagt, ist der Ausgangspunkt das folgende Prinzip: Wir interpretieren die Entwicklung eines Martingals S als eine Möglichkeit, Verteilungen von früheren Zeitpunkten zu späteren zu transportieren. Dieses Martingal-Transportproblem tritt natürlich in der modellunabhängigen Finanzmathematik auf, wo S den Preis eines finanziellen Vermögenswertes darstellt. Marktdaten liefern im Wesentlichen Informationen über die Verteilungen von S zu bestimmten Zeitpunkten. Unbekannt bleibt jedoch, wie sich S von einem Zeitpunkt zum nächsten bewegt. Das Problem der Bestimmung minimaler/maximaler Preise und optimaler Handels-/Absicherungsstrategien ist daher eng mit den Hauptaufgaben des optimalen Transports verbunden. Die Transporttheorie verfügt über gut entwickelte Optimalitätskriterien. Im Laufe des Projekts haben wir analoge Ergebnisse, sogenannte Monotonieprinzipien, entwickelt, die in der modellunabhängigen Finanzmathematik eine ähnliche Rolle spielen. Sie erlauben uns, minimale und maximale Finanzmodelle für eine Vielzahl von Kombinationen von Marktumgebungen und Finanzderivaten zu charakterisieren. Auf diese Weise haben wir eine systematische Methode zur Berechnung robuster Preisschranken und entsprechender Absicherungsstrategien unter allgemeinen Bedingungen entwickelt. Die im Rahmen des START-Projekts entwickelten Techniken haben auch über die Finanzmathematik hinaus Bedeutung, z. B. für das Skorokhod-Einbettungsproblem, bei dem es darum geht, eine bestimmte Verteilung in eine Brownsche Bewegung einzubetten. Seit das Problem vor mehr als 60 Jahren zum ersten Mal gestellt wurde, haben viele verschiedene MathematikerInnen verschiedene spezifische Lösungen entwickelt. Der im START-Projekt entwickelte transportbasierte Ansatz liefert zum ersten Mal einen universellen Ansatz, der es ermöglicht, alle bisher bekannten optimalen Lösungen für das Skorokhod-Problem sowie eine Fülle neuer Lösungen abzuleiten.