Angewandte Mathematik

Wittgenstein-Preis Z 50 Forschungsgebiet: Angewandte MathematikPeter MARKOWICH16.06.2000 Die wissenschaftliche Arbeit von Peter Markowich liegt im Gebiet der Nichtlinearen Analysis und der partiellen Differentialgleichungen. Diese Gleichungen, die die Sprache der grundlegenden Arbeiten von Leibnitz, Newton und Maxwell verwenden, beschreiben dynamische physikalische Vorgänge vom atomaren bis zum galaktischen Bereich. Wichtige Beispiele sind die Boltzmanngleichung der Gaskinetik, die Schrödingergleichung der Quantenphysik, die Einstein`schen Feldgleichungen der Relativitätstheorie und die Navier-Stokes Gleichungen der Strömungslehre. Partielle Differentialgleichungen sind zentral in der modernen mathematischen Analysis und in der modernen mathematischen Physik. Markowich beschäftigt sich sowohl mit methodologischen Grundlagen als auch mit konkreten Modellierungsproblemen und numerischer Computersimulation von physikalischen Phänomenen unter Verwendung von Differentialgleichungsmodellen. So hat er zum Beispiel zur praktischen Entwicklung von höchst-integrierten Halbleiterbauelementen beigetragen, zum Verständnis von grundlegenden Fragen über Entropiemethoden bei kinetischen Gleichungen und Diffusionsprozessen und zur exakten Analyse des Zusammenhangs zwischen klassischer und Quantenmechanik. Peter Markowich hat viele Jahre im Ausland geforscht und gelehrt. Er ist vor zwei Jahren nach Österreich heimgekehrt und ist mehr denn je an internationalen Forschungsprojekten beteiligt. Sein Ziel ist es, Wien als international anerkanntes Zentrum der Angewandten Mathematik zu etablieren.

Die wissenschaftliche Arbeit von Peter Markowich liegt im Gebiet der Nichtlinearen Analysis und der partiellen Differentialgleichungen. Diese Gleichungen, die die "Sprache" der grundlegenden Arbeiten von Leibnitz, Newton und Maxwell verwenden, beschreiben dynamische physikalische Vorgänge vom atomaren bis zum galaktischen Bereich. Wichtige Beispiele sind die Boltzmanngleichung der Gaskinetik, die Schrödingergleichung der Quantenphysik, die Einstein`schen Feldgleichungen der Relativitätstheorie und die Navier-Stokes Gleichungen der Strömungslehre. Partielle Differentialgleichungen sind zentral in der modernen mathematischen Analysis und in der modernen mathematischen Physik. Markowich beschäftigt sich sowohl mit methodologischen Grundlagen als auch mit konkreten Modellierungsproblemen und numerischer Computersimulation von physikalischen Phänomenen unter Verwendung von Differentialgleichungsmodellen. So hat er zum Beispiel zur praktischen Entwicklung von höchst-integrierten Halbleiterbauelementen beigetragen, zum Verständnis von grundlegenden Fragen über Entropiemethoden bei kinetischen Gleichungen und Diffusionsprozessen und zur exakten Analyse des Zusammenhangs zwischen klassischer und Quantenmechanik. Peter Markowich hat viele Jahre im Ausland geforscht und gelehrt. Er ist vor zwei Jahren nach Österreich heimgekehrt und ist mehr denn je an internationalen Forschungsprojekten beteiligt. Sein Ziel ist es, Wien als international anerkanntes Zentrum der Angewandten Mathematik zu etablieren. Das Wittgenstein Preis Projekt von Peter Markowich beschäftigte sich mit der mathematischen und numerischen Analyse von partiellen Differentialgleichungen, die Phänomene in der Wissenschaft und im Ingenieurwesen modellieren, mit besonderer Berücksichtigung der Dynamik von großen Partikelensembles. Partielle Differential- gleichungen (PDGL) setzen Zustandsvariable wie Masse, Impuls und Energie in Beziehung zu deren Variationen in Bezug auf sogenannte unabhängige Variable wie Zeit und Ort. PDGL basieren auf dem Differenzial -und Integralkalkül, der von Newton und Leibniz im späten 17. Jahrhundert begründet wurde. Seit diesem Zeitpunkt wurden PDGL für viele wichtige wissenschaftliche Entdeckungen verwendet, wie zum Beispiel die Formulierung der klassischen Newtonschen Mechanik, die Maxwellschen Gesetze der Elektrodynamik, die Navier-Stokes und Euler Gleichungen der Strömungslehre, die Boltzmann Gleichung der Gaskinetik, die allgemeine Relativitätstheorie von Einstein bis hin zur Quantenphysik in ihrer Formulierung als Schrödingersche und Heisenbergsche Wellenmechanik. Es zeigte sich, dass PDGL auch zur Modellierung von Flugzeugtragflächen, zur Modellierung von Elektronen und Löcherströmen in Halbleiterkristallen (wichtig für VLSI und nanotechnologische Anwendungen), zur Beschreibung des Flusses von Gletschern und Schnee- oder Schlammlawinen als auch für die quantistische Dynamik von ultrakalten Gasen und für die Beschreibung der kollektiven Bewegung von biologischen Zellen verwendet werden können. Hier kommt die wahre Kraft und Schönheit der Mathematik ins Spiel: Abstraktion! Wissenschaftlich völlig verschiedene Probleme können mit sehr ähnlichen Gleichungen mathematisch modelliert werden. Es ist deshalb klar, dass viele Aussagen über die angewandten Probleme und deren Modellierung direkt durch das mathematische Studium der PDGL gemacht werden können. Zum Beispiel, wenn bewiesen werden kann, dass eine PDGL keine Lösung hat, dann müssen Modellierungsaspekte neu überdacht werden. Auf der positiven Seite, Skalierungs-grenzwerte, die auf die Identifikation von signifikanten Parameterregimen zurückgehen, und die Untersuchung von Langzeit-Gleichgewichtszuständen geben wertvolle Einsichten in das ursprüngliche wissenschaftliche Problem, vor allem in dessen Stabilitätseigenschaften. Numerische Simulationen können dazu beitragen, teure und schwierige Experimente überflüssig zu machen. Genau dort lag der Fokus dieses Projektes, nämlich im besseren Verständnis von Partikel-Ensemble-Dynamik durch das mathematische Studium von (nichtlinearen) partiellen Differentialgleichungen. Klarerweise erforderte das einen interdisziplinären Zugang, d.h. gemeinsame Forschungsarbeit mit angewandten Wissenschaftlern und mit Experimentalisten. Die Hauptziele dieses Projektes waren die Untersuchung von PDGL Modellen von ultrakalten Quanten-gasen, Einsichten in mögliche Designverbesserungen von Nanotechnologien (wie Halbleiter Superlattices und Quantenkaskadenlasern), und die Untersuchung von Modellen für das kollektive Verhalten von biologischen Zellen, die von selbst-produzierten Chemikalien im chemotaktischen Prozess getrieben werden. Einsichten wurden durch Forschung an den mathematischen Modellen und nicht durch Untersuchung der ursprünglichen wissenschaftlichen Probleme erzielt! Schöne Mathematik und Anwendungen sind kein Widerspruch- tatsächlich hat dieses Projekt gezeigt, dass sie im Gebiet der PDGL koexistieren. Anwendungen befruchten die Entwicklung von neuen mathematischen Techniken und umgekehrt. Auf diese Art und Weise profitieren sowohl die Wissenschaften als auch das Ingenieurwesen.