Normal forms in complex analysis

An important direction in Complex Analysis of Several Variables is CR-geometry. It was founded in the research of Henri Poincarè, and developed later in celebrated papers of Cartan, Tanaka, Chern and Moser. Traditionally, CR-geometry studies smooth real submanifolds in complex space and holomorphic mappings between them. One of the crucial problems here is the problem of holomorphic equivalence for two real submanifolds in complex space of the same dimension. The above mentioned work of Cartan, Tanaka, and Chern-Moser lead to a fundamental progress in understanding of the equivalence problem. In particular, the Dynamical method of Moser suggests solving the equivalence problem by choosing certain distinguished holomorphic coordinates for the real submanifold, where the associated geometric data has a certain unique simple form. The latter distinguished form of a real submanifold is called its normal form, and the procedure of constructing the normal form is addressed as the solution of the equivalence problem by a normal form method. A normal form for real submanifolds is not only important for the equivalence problem, but also has applications for numerous analytic and geometric questions, related to real submanifolds. We shall emphasize now that the considerations of Moser all concern the so-called Levi-nondegenerate case, while very little is known for the normal form theory in more degenerate setting. A break-through in the normal forms theory in the Levi-degenerate case has been done recently in a series of joint publications of the Applicant with Dmitri Zaitsev. They obtained (holomorphic) normal forms for important general classes of Levi-degenerate hypersurfaces. Their method admits far going generalizations and developments The current research project is aimed to extend the method of the Applicant and Zaitsev in certain directions, and by doing so develop further the normal form theory in CR-geometry. The project consists of three principal parts I,II, and III, state of the art and methodology for each of which we address with great details.

Innerhalb des Projekts konnten wir wesentliche Fortschritte in der Theorie der Normalformen für reelle Untermannigfaltigkeiten im komplexen Raum und für Klassen zugehöriger dynamischer Systeme erzielen. Insbesondere: (i) Ein Borel-Theorem für CR-Karten in komplexer Dimension 3 wurde aufgestellt; (ii) Normalformen für 3-dimensionale CR-Mannigfaltigkeiten vom unendlichen Typ wurden konstruiert; (iii) Beloshapka-Steifigkeitsvermutung wurde gelöst; (iv) Normalformen für beliebige ODEs zweiter Ordnung wurden konstruiert; (v) Es wurde eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Existenz einer analytischen Normalform für eine CR-Struktur gegeben; (vi) Eine vollständige Liste von Normalformen für homogene streng pseudokonvexe Hyperflächen im komplexen 3-Raum wurde präsentiert; (vii) Eine vollständige Normalform für überall 2-nicht-entartete Hyperflächen im komplexen 3-Raum wurde konstruiert; (viii) 2-nicht entartete Geometrien mit einfachen Modellen wurden klassifiziert; (ix) Eine vollständige Liste von Normalformen für singuläre lineare ODEs zweiter Ordnung an einer Singularität wurde erhalten; (x) Die Klasse der Fuchsschen 3-dimensionalen Mannigfaltigkeiten wurde eingeführt. Analytische Regularität von invertierbaren CR-Karten zwischen CR-Mannigfaltigkeiten des Fuchsschen Typs wurde festgestellt. Vollständige konvergente Normalformen für Hyperflächen vom Fuchsschen Typ wurden erhalten; (xi) Beispiele für Levi-nicht entartete reelle Untermannigfaltigkeiten im komplexen Raum, die nichttriviale CR-Automorphismen tangential zur Identität in beliebig hoher Ordnung zulassen, wurden konstruiert; (xii) Notwendige Bedingungen für die Einbettbarkeit einer realen Hyperfläche in ein Hyperquadrik wurden geschaffen. Das Projekt hatte erhebliche Auswirkungen und eröffnete neue Forschungsperspektiven auf dem Gebiet der CR-Geometrie und teilweise in den Bereichen Dynamische Systeme und Differentialgeometrie.