Weighted X-ray transform and applications

The classical X-ray transform concerns integration of a function over lines in the plane. An inversion formula for reconstructing a function from its integrals along lines was first given by the Austrian mathematician Johann Radon in 1917, and the solution was subsequently rediscovered a number of times afterward in different contexts, most notably in medical imaging techniques such as X-ray Computerized Tomography (X-ray CT) and Positron Emission Computed Tomography (PET). Over the past three decades the engineering advances in medical imaging requires extending the notion of the X-ray transform to tensors of higher order, to non-Euclidean geometry, and to weighted X-ray transform. The investigation concerns topics in the weighted X-ray transform in the light of A-analytic function theory la Bukhgeim (1995). These transforms are at the heart of new imaging methods and arise naturally in various inverse problems. This project focuses on the theoretical and mathematical understanding of the weighted X-ray transforms, with potential applications in the medical imaging technology of Single Photon Emission Computed Tomography, Positron Emission Tomography, Doppler tomography and Geophysical Imaging.

Die drei wissenschaftlichen Hauptresultate des FWF-Projekts "Gewichtete X-ray-Transformation und Anwendungen" sind: 1. Lokale Tomographie mit Daten zu einem Kreisbogen: In zwei Dimensionen ist die Inversion der X-ray-Transformation ein nicht-lokales Problem, bei dem man auch die Werte der Linienintegrale benötigt, die außerhalb der Region, in der man rekonstruieren möchte, liegen. Andererseits wäre es zur Reduktion der Strahlendosis wünschenswert, die Bestrahlung auf ein möglichst kleines Gebiet zu beschränken. Für den Fall funktionieren jedoch die konventionellen Rekonstruktionsmethoden, wie etwa die gefilterte Rückprojektionsformel nicht, da sie für die vollen Meßdaten ausgelegt sind. Die Arbeit des PIs ist die erste, die zeigt, dass auf speziellen Teilgebieten quantitative lokale Tomographie möglich ist, selbst wenn die Daten nur auf einem Teil des Rands gemessen werden. Die algorithmische Umsetzung dieser Arbeit wurde sogar mit einem Preis ausgezeichnet. 2. Das inverse Rekonstruktionsproblem in streuenden und absorbierenden Medien in zwei Dimensionen: Wird das Streuproblem mit der Strahlungstransportgleichung modelliert, so wurden bisher für die Rekonstruktion einer Strahlungsquelle Streudaten auf dem gesamten Rand des Mediums benötigt. In diesem Projekt gelang es dem PI, eine theoretische Methode zur quantitativen Bestimmung einer eingebetteten Strahlungsquelle herzuleiten, die mit Streudaten auf einem Teil des Rands auskommt. 3. Algebraische Nebenbedingungen, die das Bild der X-ray-Transformation eingrenzen: Aus dem neuartigen Blickpunkt des PI auf die X-ray-Daten auf dem Torus, ergaben sich algebraische Bedingungen, die solche X-ray-Daten zwangsläufig erfüllen müssen. Diese Charakterisierungen konnte der PI mit den klassischen Ansätzen von Gelfand-Graev (1960), Helgason (1966) und Ludwig (1966) für Funktionen und mit denen von Pantyukhina (1990) für Tensoren höherer Ordnung in Verbindung bringen. Damit stellt diese Arbeit auch eine Relation zur Herangehensweise von Pestov und Uhlmann (2004) her. Diese Äquivalenz der unterschiedlichen Ansätze liefert neue Sichtweisen, hilft, tiefere Einblicke in die theoretischen Eigenschaften der Transformation zu gewinnen, und trägt damit entscheidend zur Weiterentwicklung des Forschungsgebiets bei.