Gewichtete X-ray Transformation und Anwendungen

Die klassische X-ray Transformation betrifft die Integration einer Funktion über Linien in der Ebene. Eine Formel für die Rekonstruktion einer Funktion aus ihren Integralen entlang der Linien wurde erstmals vom österreichischen Mathematiker Johann Radon im Jahre 1917 entwickelt. Die Lösung wurde danach mehrmals in verschiedenen Zusammenhängen wiederentdeckt, vor allem in medizinischen Bildgebungstechniken wie X-ray Computertomographie (X-ray CT) und Positronen- Emissions-Tomographie (PET). In den vergangenen drei Jahrzehnten erforderten die Fortschritte in der medizinischen Bildgebung die Erweiterung des Begriffs der X-ray Transformation auf Tensoren höherer Ordnung, auf nicht-euklidische Geometrie und auf gewichtete X-ray Transformation. Die Forschungsthemen werden im Zusammenhang mit der gewichteten X-ray Transformation im Lichte der A-analytischen Funktionstheorie la Bukhgeim (1995) untersucht. Diese Transformationen stehen im Mittelpunkt der neuen Bildebungsmethoden und entstehen natürlich in verschiedenen inversen Problemen. Dieses Projekt konzentriert sich auf das theoretische und mathematische Verständnis von gewichteten X-ray Transformationen mit möglichen Anwendungen in der medizinischen Bildgebungstechnologie von Single Photon Emission Computertomographie, Positronen-Emissions- Tomographie, Doppler-Tomographie und Geophysikalischen Bildgebung.

The three scientific advances in the FWF project "Weighted X-ray transform and applications" are as follows: 1. Local tomography with data on an arc: In two dimensions, inversion of the X-ray transform is a non-local problem, where one needs the integration on lines away from the region of interest. On the other hand, in order to reduce radiation exposure, it is desirable to irradiate X-ray only around region of interest, while the conventional reconstruction methods such as filtered back projection could not work due to its intrinsic limitation of dependency on whole measurement data. The PIs is the first work to show that the quantitative local tomography is possible on specific subdomains, despite the data being collected only on the part of the boundary. The algorithmic implementation of this work has won an award. 2. The inverse source problem in two dimensional scattering and absorbing media: Prior to the discoveries in this project, to recover radiative source with in the model of the radiative transfer equation requires measured data all around the boundary. In this project, the PI successfully presented a theoretical method to quantitatively determine an embedded source of radiation from scattered data measured just on an arc of the boundary. 3. Algebraic constraints in X-ray data: Using PI's novel point of view of understanding the X-ray data on the torus, the PI discovered the algebraic constraints characterizing the X-ray data. These constraints allow the PI to connect with the classical approaches of Gelfand-Graev (1960), Helgason (1966) and Ludwig (1966) for functions, and Pantyukhina (1990) for arbitrary higher order tensors. As a consequence, this work also establish the connection with the approach of Pestov and Uhlmann (2004). Thus, the equivalence between these approaches bridges a gap and helps to gain deeper insight into the theoretical properties of the transform and contributed to the advancement of the research field.