Geometric and ergodic properties of flows

The mathematical concept of flow refers to continuous (and time-reversible) movements in and deformations of space. One can think of the movement of particles bouncing in a container (billiard flows), or the continuous change of parameters of some system. These changes can be non-linear and unpredictably chaotic, so that exact long-term predictions are impossible, and one has to resort to ergodic properties and statistical predictions. In order to prove statistical properties of such flows (e.g. where in space trajectories reside on average, and how fast initial information is lost = rate of mixing), abstract mathematical models are used, with abstract hypotheses. It is not always easy to determine if these hypotheses hold for the system at hand, and this is the underlying thought behind this project. Particular features of the flow, such as neutral equilibria and straight scatterers for billiard systems, slow down the mixing. The aim is to understand their geometry and their influence on the global behaviour. The emphasis lies on neutral equilibria in the flow (building on recent work of Terhesiu and the PI). These are the major source for polynomial mixing rates. Inducing scheme without Markov partitions pose an additional challenge. flows on tiling spaces. Such spaces describe aperiodic tilings (such as Penrose tilings) and are of extreme interest in continuum theory. They are mostly studied by algebraic and spectral methods, but flows acting on them appear to be of novel interest. Ergodic properties are commonly studied by means of transfer operators of so-called inducing schemes, but to verify that such schemes are of the right nature (e.g. have useful tail estimates), one needs to understand the geometry of the flow at hand. Methods from bifurcation theory will be used in this project to match concrete relevant examples to the abstract approach in the current literature. Additionally, in order to make the methods of Poincaré maps more flexible, we aim to extend the current (mostly one-dimensional or first return) techniques of finding induced systems to a much wider class of flows. New is also the implementation of chaotic flows to continua (here tiling spaces) as opposed to manifolds, for which methods from continuum theory and low complexity dynamics (substitutions) are required. We aim to generalize existing results on e.g. mixing properties to the setting of such continua.

Flüsse ist der mathematisch übergreifende Begriff, der Systeme beschreibt, die sich kontinuierlich in der Zeit verändern. Dies kann ein einzelnes Teilchen sein, das sich durch den Raum bewegt und von anderen Teilchen abprallt, aber auch die Konfiguration eines Gesamtsystems, z.B. ein meteorologisches Modell. Ist das System chaotisch (d. h. unvorhersehbar, weil sich Mess- oder Rundungsfehler, egal wie klein sie sind, enorm vergrößern), dann ist Mischung ein Maß dafür, wie schnell die Information der Anfangsposition im Laufe der Zeit verloren geht. In den stark chaotischen Systemen ist die Mischungsrate exponentiell, aber es gibt Systeme mit langsamerer Rate oder solche, die nur in einem schwachen Sinne mischen. Zu den Ergebnissen dieses Projekts gehörten detaillierte Studien darüber, welche Eigenschaften des Systems welche Arten von langsamen Mischungsraten erzeugen, wie z. B. Polynome mit verschiedenen Exponenten. Eine Sammlung solcher Systeme sind fast-Anosov-Flüsse, bei denen ein neutraler stationärer Punkt eine polynomiale Mischung erzeugt. Wir haben dafür den exakten Exponenten dieser Polynomrate als kontinuierliche Funktion der Systemparameter ermittelt. Für diese haben wir auch gewisse Grenzgesetze bewiesen, die die asymptotischen Mittelwerte statt der Mischungsrate des Systems beschreiben. Mein Doktorand Homero Canales arbeitete an einem System von Lorenz-Flüssen (bekannt aus der Meteorologie) mit neutralem Sattel (die Innovation) und etablierte eine polynomiale Mischungsrate für dieses wichtige Modell. Ein anderer Systemtyp bezieht sich auf polygonale Billard-Flüsse (bei denen die Teilchen von geraden Wänden und polygonalen Objekten abprallen); hier ist das Chaos geringer und die Vermischung erfolgt nur in einem schwachen "Durchschnitt"-Sinne. Anstelle von Mischungsverhältnissen versucht man Grenzgesetze aufzustellen wie z. B. Diffusionsraten. Mit der Postdoktorandin Olga Lukina haben wir ein konkretes Beispiel untersucht, das aus einem parallelen Fluss auf einer Oberfläche mit unendlich vielen Löchern stammt. Die zugehörige (stroboskopische) Abbildung in diskreter Zeit ist eine Permutation von unendlich vielen Teilintervallen, die wir als rotierten Odometer bezeichnen. Als Ergebnis erhalten wir hier eine detaillierte Analyse der Eigenwerte (vergleichbar mit quasi-periodischer Bewegung) und weiterer spektraler Eigenschaften. Diese Klasse von Beispielen war auch in weiteren Teilprojekten enthalten, die Lukina mit anderen (besuchenden) Koautoren durchführte.