Geometrische und ergodische Eigenschaften von Flüssen

Der mathematische Begriff des Flusses bezieht sich auf kontinuierliche (und zeit- reversible) Bewegungen im Raum und Verformungen des Raumes. Man kann an die Bewegung der Partikel denken, die in einem Behälter springen (Billardflüsse). Dieses Verhalten kann nichtlinear und unvorhersehbar chaotisch sein, sodass genaue Langzeitvorhersagen unmöglich sind, und man auf ergodische Eigenschaften und statistische Vorhersagen zurückgreifen muss. Um statistische Eigenschaften solcher Flüsse zu beweisen (z.B. wo im Raum Trajektorien sich im Durchschnitt befinden und wie schnell die Anfangsinformation verloren geht = die Mischungsrate), werden abstrakte mathematische Modelle mit abstrakten Hypothesen verwendet. Es ist nicht immer leicht zu bestimmen, ob diese Hypothesen für ein gegebenes System zutreffen, und das ist der zugrunde liegende Gedanke hinter diesem Projekt. Besondere Merkmale der Flüsse, wie neutrale Gleichgewichte undStreur mit geraden Seiten für Billardsysteme, verlangsamen das Mischen. Ziel ist es, ihre Geometrie und ihren Einfluss auf das globale Verhalten zu verstehen. Der Schwerpunkt liegt auf neutrale Gleichgewichte im Fluss (aufbauend auf der letzten Arbeit von Terhesiu und dem PI). Diese sind die Hauptquelle für polynomische Mischungsraten. Inducing Scheme ohne Markov Partition stellen eine zusätzliche Herausforderung. Flüsse auf Fliesenräumen. Solche Räume beschreiben aperiodische Parkettierungen (wie Penrose Tilings) und sind von extremer Bedeutung für die Kontinuums-Theorie. Sie werden meistens mittels algebraischen und spektralen Methoden untersucht, allerdings Flüsse, die auf sie wirken, scheinen von neuem Interesse zu sein. Ergodische Eigenschaften werden üblicherweise mittels Transferoperatoren von sogenannten Inducing Schemes untersucht, aber um zu verifizieren, dass solche Schemata von der richtigen Natur sind (z. B. nützliche Abschätzungen der Schwänze haben), muss man die Geometrie der Strömung verstehen. Methoden der Bifurkationstheorie werden in diesem Projekt verwendet, um konkrete relevante Beispiele mit der abstrakten Theorie in der aktuellen Literatur zu vereinigen. Zusetzlich, um eine flexibelere Anwendung von Poincaré Abbildungen zu ermöglichen, wird eine Erweiterung der heutigen (meist eindimensionalen und erster Rückkehr) Techniken für die Konstruktion von induzierten Systemen für mehr allgemeine Klasse von Flüssen angestrebt. Neu ist ebenfalls die Implementierung von chaotischen Flüssen zu Kontinuen (hier Tiling Spaces) im Gegensatz zu Mannigfaltigkeiten, für die Methoden aus Kontinuumstheorie und der Dynamik von Systemen niedriger Komplexität (Substitutions) erforderlich sind. Das Ziel ist Ergebnisse über z. B. Mischungsraten für Flüsse auf Mannigfaltigkeiten zu erweitern.

Flows are the mathematically overarching notion describing systems that change continuously in time. These can be a single particle moving through space and bouncing off other particles, but also the configuration of an entire system, e.g. a meteorological model. If the system is chaotic (i.e. unpredictable due to the fact that measuring or round-off errors, no matter how small, will blow up to large size), then mixing is a measure of how fast the information of the initial position is lost over time. In the most chaotic systems, the mixing rate is exponential, but there are systems with slower rate, or that are mixing only in some weak sense. Among this project's outcomes there were detailed studies of which features of the system produces which type of slow mixing rates, such as polynomial with various exponent. One collections of such systems are almost Anosov flows, where a neutral stationary point produces polynomial mixing and we established the exact exponent of this polynomial rate as continuous function of the system parameters. For these, we also proved certain limit laws, which describe the asymptotic averages of the system, rather than the mixing rate. My PhD-student Homero Canales worked on an system of Lorenz flows (well-known from meteorology) with a neutral saddle (the innovation) and established polynomial mixing rate for this important model. Another type of system is related to polygonal billiard flows (where the particle bounced off straight walls and polygonal objects); here the chaos is smaller, and mixing occurs only in some weak ``average'' sense. Instead of mixing rates, one tries to establish limit laws such as diffusion rates. With the Postdoc Olga Lukina, we studied a specific example coming from a parallel flow on an surface with infinitely many holes. The associated discrete time ``stroboscopic'' map is permutation of infinitely many subintervals, which we call rotated odometer. Result we obtained here is a detailed analysis of the eigenvalues (comparable to quasi-periodic motion) and further spectral properties. This class of example also featured in further subprojects that Lukina undertook with other (visiting) coauthors.