MODEL ORDER REDUCTION FOR TIME-HARMONIC WAVE PROBLEMS

Many engineering applications, like, e.g., structural dynamics, geophysics, seismology, acoustics and vibro- acoustics, require the numerical evaluation of time-harmonic wave propagation problems over a range of frequencies. The most used technique to discretize partial differential equations - among which also the above mentioned problem - is the finite element method, which produces a piecewise polynomial approxi- mation of the solution. Due to the oscillations of analytical solutions to time-harmonic wave problems, the finite element discretization already for moderate frequencies - is computationally expensive and time- consuming. Therefore, when solutions at many frequencies are of interest, the repeated computation of nu- merical solutions through the finite element method become prohibitive. Model order reduction methods provide approximations of the solution at low computational cost, overcoming limitations of standard numer- ical techniques. This project aims at developing a novel model order reduction method based on rational approximation tech- niques. In particular, we will design and analyze a method to approximate rational mappings, with values in functional spaces, which go to infinity with polynomial rate - whenever the isolated roots of the denomina- tor are approached. This method will have the foundations in the classical Padé technique, which provides approximations of rational complex functions by ratio of complex polynomials. We will investigate the potentiality of the developed methodology when applied to mappings, which associ- ate parametric as well as random frequencies with the corresponding solution of the time-harmonic wave equation. Specific attention will be paid to optimal control problems, i.e., problems where a cost functional has to be minimized over the functional space of solutions to time-harmonic wave problems. In this context, since the partial differential equation has be solved several times, standard numerical techniques are unfeasi- ble, and the development of surrogate models is crucial. We will make use of rational-type surrogate models, which have never been considered before for such problems.

Dieses Projekt befasste sich mit der numerischen Approximation von Lösungen für zeitharmonische Wellenausbreitungsprobleme über ein Frequenzband. Es wurde insbesondere der Kontext "viele Abfragen" berücksichtigt, in dem Lösungen für viele Frequenzen von Interesse sind. Diese Art von Problemen tritt in vielen Ingenieuranwendungen auf, wie z. B. Strukturdynamik, Geophysik, Seismologie, Akustik und Vibroakustik. In allen oben erwähnten Beispielen ist die numerische Bewertung von Problemen der Ausbreitung von zeitharmonischen Wellen über einen ganzen Bereich an Frequenzen erforderlich. Die gängigste numerische Methode zur Diskretisierung partieller Differentialgleichungen - darunter auch zeitharmonische Wellenausbreitungsprobleme - ist die Finite-Elemente-Methode, die eine stückweise polynomielle Approximation der Lösung erzeugt. Der limitierende Faktor dieser Technik ist der Rechenaufwand. Tatsächlich sind akkurate Finite-Elemente-Approximationen aufgrund der Oszillationen der analytischen Lösungen für zeitharmonische Wellenprobleme bereits für moderate Frequenzen rechen- und zeitaufwendig. Daher wird im Zusammenhang mit vielen Abfragen, wenn Lösungen für viele Frequenzen von Interesse sind, die wiederholte Berechnung numerischer Lösungen durch die Finite-Elemente-Methode zu aufwendig. Der Schwerpunkt dieses Projekts lag auf dem Entwurf und der theoretischen Analyse fortschrittlicher numerischer Techniken, die akkurate Näherungen der Lösungen mit geringem Rechenaufwand liefern und die Limitierung der numerischen Standardtechniken überwinden. Insbesondere wurde intensiv an neuartigen Modellordnungsreduktionsmethoden gearbeitet, um rationale (meromorphe) Abbildungen, die mit polynomialer Rate gegen unendlich streben, wenn man sich den isolierten Nullstellen des Nenners nähert, mit Werten in Funktionenräumen anzunähern. Aufgrund der meromorphen Struktur der Abbildungen basierte die vorgeschlagene Technik der Modellordnungsreduktion auf rationalen Näherungsverfahren. Zuerst wurde eine Methode entwickelt, die auf der klassischen Padé-Technik basiert und Approximationen rationaler komplexer Funktionen mittels Quotienten komplexer Polynome liefert. Ihre Approximationseigenschaften wurden theoretisch bewiesen und ihre Leistungsfähigkeit in mehreren numerischen Beispielen gezeigt, wie z. B. in Transmissions-Reflexions-Problemen und Streuproblemen. Dieses erste Verfahren ist besonders für enge Bereiche an Frequenzen geeignet. Anschließend wurde eine Modellreduktionsmethode betrachtet, die für einen großen Frequenzbereich gültig ist. Die durch diesen letzteren Ansatz bereitgestellte Näherung wurde mittels einer rationalen Interpolationstechnik konstruiert. Diese Interpolierende wurde numerisch mit jener der Padé-Technik verglichen. Darüber hinaus wurde diese Methode im Rahmen von Optimalsteuerungsproblemen eingesetzt, d. h. bei Problemen, bei denen ein Kostenfunktional über den Funktionenraum von Lösungen für zeitharmonische Wellenprobleme minimiert werden muss.