MODELLREDUKTION FÜR HARMONISCHE WELLEN

Viele technische Anwendungen, wie z. B. Strukturdynamik, Geophysik, Seismologie, Akustik und Vibroa- kustik, erfordern die numerische Simulation zeitharmonischer Wellen über ein Intervall von Frequenzen. Die bekannteste Technik zur Diskretisierung von partiellen Differentialgleichungen - zu denen auch das oben erwähnte Problem gehört - ist die Methode der finiten Elemente, die eine stückweise polynomielle Approxi- mation der Lösung erzeugt. Aufgrund der Oszillationen analytischer Lösungen für zeitharmonische Wellen- probleme ist die Finite-Elemente-Methode bereits für moderate Frequenzen rechenaufwendig und zeitauf- wendig. Wenn Lösungen für viele verschiedene Frequenzen von Interesse sind, wird daher die wiederholte Berechnung von numerischen Lösungen durch die Finite-Elemente-Methode ungeeignet. Modellordnungsre- duktionsverfahren bewältigen diese Beschränkung von numerischen Standardtechniken und liefern Nähe- rungen für ein breites Spektrum von Frequenzen mit geringem Aufwand. Dieses Projekt zielt darauf ab, ein neuartiges Modellordnungsreduktionsverfahren zu entwickeln, das auf rationalen Approximationstechniken basiert. Insbesondere werden wir eine Methode entwerfen und analysie- ren, um rationale Abbildungen zu approximieren, die Werte in Funktionsräumen annehmen, welche mit po- lynomieller Rate gegen Unendlich gehen, wenn die isolierten Nullstellen des Nenners angenommen werden. Diese Methode wird auf der klassisches Padé-Technik basieren, die Näherungen von rationalen komplexen Funktionen durch das Verhältnis von komplexen Polynomen liefert. Wir werden das Potential der entwickelten Methode untersuchen, wenn sie auf Abbildungen angewendet wird, die sowohl parametrische als auch zufällige Frequenzen mit der zugehörigen Lösung der zeitharmoni- schen Wellengleichung assoziieren. Besondere Aufmerksamkeit wird auf optimale Steuerungsprobleme, d. h., Probleme, bei denen ein Kostenfunktional über den Funktionsraum von Lösungen für zeitharmonische Wellenprobleme minimiert werden muss, gerichtet sein. Da in diesem Kontext die zeitharmonische Wellen- gleichung mehrmals gelöst werden muss, sind numerische Techniken für das Standardmodell ungeeignet, und die Entwicklung von Ersatzmodellen ist entscheidend. Wir werden Rational-Typ-Ersatzmodelle ver- wenden, die für solche Probleme nie zuvor genutzt wurden.

This project dealt with the numerical approximation of solutions to time-harmonic wave propagation problems over a range of frequencies. In particular, it was considered the "many-queries" context, where solutions at many frequencies are of interest. This type of problems arises in many engineering applications, like, e.g., structural dynamics, geophysics, seismology, acoustics and vibro-acoustics. In all the above-mentioned examples, it is required the numerical evaluation of time-harmonic wave propagation problems over a range of frequencies. The most popular numerical technique to discretize partial differential equations - among which also time-harmonic wave propagation problems - is the finite element method, which produces a piecewise polynomial approximation of the solution. The main limitation of this technique concerns its computational cost. Indeed, due to the oscillations of the analytical solutions to time-harmonic wave problems, accurate finite element approximations are computationally expensive and time-consuming, already for moderate frequencies. Therefore, in the "many-queries" context, when solutions at many frequencies are of interest, the repeated computation of numerical solutions through the finite element method become prohibitive. The focus of this project was on the design and theoretical analysis of advanced numerical techniques able to provide accurate approximations of the solution at low computational cost, overcoming limitations of standard numerical techniques. In particular, we extensively worked on novel model order reduction methods to approximate rational (meromorphic) mappings, with values in functional spaces, which go to infinity - with polynomial rate - whenever the isolated roots of the denominator are approached. Due to the meromorphic structure of the target mapping, the proposed model order reduction technique was based on rational approximation methods. First, we developed a method with foundations in the classical Padé technique, which provides approximations of rational complex functions by ratio of complex polynomials. Its approximation properties have been theoretically proved, and its performances have been shown in several numerical examples, like, e.g., transmission-reflection problems and scattering problems. This first method is particularly suitable over small range of frequencies. Afterwards, we considered a model order reduction method valid over wide range of frequencies. The surrogate provided by this latter approach was constructed by means of an interpolatory rational approximation technique. The interpolatory surrogate was numerically compared with the Padé one. Moreover, it was employed in the framework of optimal control problems, i.e., problems where a cost functional has to be minimized over the functional space of solutions to time-harmonic wave problems.