Phasenübergänge und Skalierungslimits

Die statistische Physik bietet einen reichhaltigen mathematischen Rahmen für das Verständnis großer Systeme interagierender Teilchen, insbesondere der universellen Phänomene von Phasenübergängen. Diese Übergänge abrupte Veränderungen im makroskopischen Verhalten eines Systems spielen nicht nur in der Physik, sondern auch in Bereichen wie der Biologie, der Informatik und der Sozialdynamik eine zentrale Rolle. Das Projekt zielt darauf ab, eine vereinheitlichende probabilistische Struktur dieser Übergänge aufzudecken, einschließlich Symmetrien, die sich an der Skalierungsgrenze ergeben. Im Jahr 2000 revolutionierte Schramm das Fachgebiet, indem er eine Vermutung für die Skalierungsgrenze von Grenzflächen in zwei Dimensionen formulierte. Seitdem ist dies zu einem wichtigen Forschungsthema in der Mathematik geworden, für das Werner (2006), Smirnov (2010) und Duminil-Copin (2022) mit der Fields-Medaille ausgezeichnet wurden. Der Nobelpreis für Physik 2016 wurde an Kosterlitz und Thouless für die Entdeckung topologischer Phasenübergänge unendlicher Ordnung verliehen. Aufbauend auf diesen Durchbrüchen setzt sich das Projekt zum Ziel, unser Verständnis zweidimensionaler kritischer Systeme zu vertiefen, wobei der Schwerpunkt auf der Geometrie von Grenzflächen, emergenten Symmetrien und den sie bestimmenden universellen Strukturen liegt. Eine Leitidee ist die Existenz einer universellen monotonen Struktur, die durch grafische Darstellungen von Wechselwirkungen ausgedrückt wird und einer breiten Klasse von Modellen zugrunde liegt. Zwei zentrale Modelle sind das Ising-Modell und die Perkolation. Das vor über 100 Jahren eingeführte Ising-Modell des Ferromagnetismus ist das am meisten untersuchte Modell in der statistischen Physik. Die Perkolationstheorie beschreibt die zufällige Bildung von Clustern in einem Netzwerk und dient als Paradigma für geometrische Phasenübergänge und als Testfeld für Universalität und Skalierung. Ihre Wechselwirkung mit allgemeineren Spin- und Schleifensystemen steht im Mittelpunkt des Projekts. Die Analyse stützt sich auf probabilistische Werkzeuge wie positive Korrelationsungleichungen (FKG), die Monotonie implizieren und es ermöglichen, scharfe Phasenübergänge zu etablieren und komplexe abhängige Systeme zu entkoppeln. Diese Methoden werden mit Werkzeugen der exakten Integrierbarkeit (Yang-Baxter oder Stern-Dreieck Transformationen) und der diskreten komplexen Analysis (Smirnovs holomorphe Observablen) kombiniert, um emergente Symmetrien im Skalierungslimit aufzudecken. Diese Symmetrien fehlen in diskreten Systemen, bestimmen jedoch das makroskopische Verhalten. Über klassische Gittermodelle hinaus untersucht das Projekt auch Systeme auf allgemeinen planaren Graphen mit Verbindungen zu Quantenspinketten. Durch die Untersuchung einer Vielzahl von Modellen zielt das Projekt darauf ab, einen robusten und einheitlichen Ansatz für Phasenübergänge und Skalierungsgrenzen zu entwickeln und universelle Mechanismen aufzudecken, die kritische Phänomene in Mathematik, Physik und darüber hinaus prägen.