Universelle Phänomene in der Analytischen Kombinatorik

Unsere moderne Welt ist voll von diskreten mathematischen Strukturen, wie zum Beispiel großen Datenstrukturen und Computernetzwerken in der Informatik oder phylogenetischen Bäumen in der Biologie. In vielen Anwendungen interessieren wir uns für ihr typisches Verhalten, wenn diese immer größer und größer werden. Für diese Analyse reichen Experimente nicht mehr aus, da die Anzahl der möglichen Konfigurationen in vielen Problemen schnell die Anzahl der Atome im beobachtbaren Universum übersteigt. Aus diesem Grund brauchen wir ein fundiertes mathematisches Verständnis dieser, jedoch können wir in vielen Fällen nicht einmal ihre Anzahl bestimmen. Das Ziel dieses Projekts ist es diese Herausforderungen in rekursiven Abzählproblemen zu lösen. Rekursiv bedeutet hierbei, dass größere Strukturen durch relativ einfache Operationen aus kleineren Strukturen aufgebaut werden können. Dies ermöglicht die Übersetzung der zu Grunde liegenden Strukturen in Gleichungen sowie Rekursionen von Zahlenfolgen, welche wiederum mit Methoden der Kombinatorik, komplexen Analysis und Wahrscheinlichkeitstheorie gelöst werden können. Das Innovative an unserem Vorgehen ist der zu Grunde liegende interdisziplinäre Zugang auf mehreren Ebenen: Wir verbinden zunächst die Methoden mehrerer mathematischer Gebiete, um damit Probleme in der Informatik, Biologie, Mathematik und Physik zu studieren und verwenden dazu mehrere unterschiedliche kombinatorische Modelle wie Gitterwege, Graphen und Young Tableaux. Hierbei konzentrieren wir uns auf drei Typen von Phänomenen: 1) Analytische Phänomene, wie etwa neuartiger asymptotischer Terme (z.B. gestreckte Exponenten a^(n^s) wobei n gegen unendlich strebt), 2) wahrscheinlichkeitstheoretische Phänomene, wie neuer Wahrscheinlichkeitsverteilungen und 3) kombinatorische Phänomene, wie neuer Klassen von kombinatorischen Objekten um Anwendungen besser zu beschreiben.