Geometrische Analyse unter unteren Ricci-Krümmungsgrenzen

Dieses Projekt untersucht eine grundlegende Frage der modernen Mathematik: Wie wird die Form" des Raumes beeinflusst, wenn bestimmte natürliche Krümmungsbedingungen vorgegeben sind? Krümmung ist ein Maß dafür, wie stark sich eine Fläche oder ein Raum verbiegt. Im Alltag begegnen wir positiv gekrümmten Räumen wie Kugeloberflächen, flachen Flächen wie einem Blatt Papier oder negativ gekrümmten Formen wie einem Sattel. In höheren Dimensionen wird das Bild jedoch deutlich komplexer. Im Mittelpunkt dieses Projekts steht eine spezielle Art der Krümmung, die sogenannte Ricci-Krümmung. Sie spielt nicht nur in der Mathematik eine zentrale Rolle, sondern auch in der Physik, wo sie in den Einsteingleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie auftritt. Eine untere Schranke an diese Ricci- Krümmung fordert eine Mindestverbiegung", die die Gesamtform und Struktur eines Raumes stark einschränkt. In den letzten Jahrzehnten haben Forscher*innen tiefe Verbindungen zwischen Ricci-Krümmung, Analysis, Geometrie und Wahrscheinlichkeit entdeckt. Trotz dieser Fortschritte bleiben viele zentrale Fragen offen, insbesondere in vier oder mehr Dimensionen. Zum Beispiel: Wie bestimmt die Ricci-Krümmung die möglichen Formen und Strukturen von Räumen? Kann sie bestimmte exotische Strukturen ausschließen? Was geschieht, wenn Räume mit kontrollierter Ricci- Krümmung kollabieren? Dieses Projekt will mehrere dieser seit Langem offenen Herausforderungen angehen. Es verbindet klassische Werkzeuge der Geometrie mit modernen Methoden aus der Analysis und der Metrischen Geometrie und führt ein internationales Netzwerk von Kooperationspartnern zusammen. Die Ergebnisse sollen unser Verständnis geometrischer Strukturen unter Krümmungsbedingungen erweitern und neue Einblicke in Fragen liefern, die Mathematik, Physik und unser grundlegendes Verständnis des Raumes verbinden.