Antike Lösungen des lichtartigen mittleren Krümmungsflusses

In der allgemeinen Relativitätstheorie können sich Objekte höchstens mit Lichtgeschwindigkeit durch den Raum bewegen. Insbesondere erreichen uns Informationen über weit entfernte Himmelskörper nicht sofort, sondern in Form von Strahlung, die bereits tausende von Jahren durchs All gewandert ist. Betrachten wir die Ansammlung aller Lichtstrahlen, die zum Beispiel von einem Stern ausgehen, so bilden diese im mathematischen Modell einen sogenannten Lichtkegel, da sich Lichtstrahlen im Modell von einem Punkt aus in einem Winkel von 45 Grad ausbreiten. In meinem Projekt möchte ich untersuchen, wie sich Flächen entlang eines solchen Lichtkegels unter einem geometrischen Fluss verformen. Entlang eines geometrischen Flusses verformen sich Flächen entsprechend ihrer Krümmung an jedem Punkt, wobei das Endresultat eine Fläche ist, die überall gleiche Krümmung besitzt. Ein gutes Beispiel für eine solche Fläche konstanter Krümmung ist ein Kreis, der entlang einem geometrischen Fluss vollkommen unverändert bleibt. Ein verbogenes Oval hingegen verformt sich hingegen wieder zurück zu einem perfekten Kreis. Daher sind geometrische Flüsse ein mächtiges Werkzeug um Flächen mit besonderen Eigenschaften zu finden. Interessant sind dabei auch sogenannte antike Lösungen eines Flusses, die für alle negativen Zeiten existieren. Dies ist eine besonders starke Annahme. Ein Kreis ist hier wieder ein gutes Beispiel, da er für alle Zeiten bereits ein Kreis gewesen ist (und bleiben wird). Kreise spielen jedoch auch in der allgemeinen Relativitätstheorie eine Rolle um einen Massenschwerpunkt auf geometrische Weise zu motivieren. Zentral ist hierbei Einsteins Idee, dass die physikalischen Eigenschaften des Raums durch dessen Krümmung beschrieben werden. Dies lässt sich zum Beispiel mit einem strammgezogenen Stück Stoff und einer Eisenkugel darstellen, da das Gewicht der Kugel den Stoff leicht einbeulen wird. Ohne die Kugel liegt der Stoff komplett flach und man kann einen Drahtring beliebig auf dem Stoff platzieren. Legt man die Eisenkugel jedoch wieder hinzu, so bemerkt man schnell, dass man den Ring nur genau um die Kugel herum passend auf den Stoff legen kann. Auf diese Weise kann man den Massenschwerpunkt der Kugel als den Mittelpunkt des Drahtrings identifizieren. Da mathematische Modelle in der Regel sehr viel komplizierter sind, kann man abstraktere Konzepte, wie Flächen konstanter Krümmung oder antike Lösungen eines geometrischen Flusses, nutzen um die Eigenschaften eines Kreises zu simulieren und dennoch eine geometrische Definition des Massenschwerpunktes zu simulieren. Mit einer solchen Definition als Motivation möchte ich diese Konzepte in meinem Projekt auf den Fall eines Lichtkegels übertragen. Dieser Fall spielt dabei eine besonders wichtige Rolle, da Informationen über weit entfernte Galaxien uns genau entlang solcher Objekte erreichen und daher die Definition eines Massenschwerpunkts potentiell mit echten physikalischen Messungen verglichen werden kann.