Starrheit und Flexibilität von den AdS 3-Mannigfaltigkeiten

Topologie ist der Bereich der Mathematik, die sich mit Formen beschäftigt. Schon zu Beginn des 20. Jahrhunderts konnte man in der Topologie alle zweidimensionalen Formen vollständig beschreiben. Die Klassifizierung dreidimensionaler Formen ist viel schwieriger. In den 70er Jahren erkannte William Thurston, dass fast alle dreidimensionalen Formen sogenannte hyperbolische geometrische Strukturen tragen. Die hyperbolische Geometrie verhält sich ganz anders als alles, was wir aus der euklidischen Geometrie kennen (und nicht viele dreidimensionale Formen tragen euklidische geometrische Strukturen). Deshalb kam diese Entdeckung auch für die Mathematik sehr überraschend. Die Untersuchung hyperbolischer Strukturen ist seither ein aktiver Forschungsbereich in der Mathematik, in dem viele wichtige Erkenntnisse gewonnen wurden. In der Allgemeinen Relativitätstheorie betrachtet man Lorentz-Räume, in denen eine Dimension zeitartig und damit anders als die anderen, raumartigen Dimensionen ist. Anti-de Sitter Geometrie ist das Pendant von Hyperbolischer Geometrie in Lorentz-Räumen. In den letzten Jahrzehnten hat die Anti-de Sitter-Geometrie eine wichtige Rolle gespielt, neue physikalische Theorien zu entwickeln und klassische Objekte der Mathematik auf neue Weise zu betrachten. In meinem Projekt werde ich dreidimensionale Anti-de Sitter-Räume untersuchen, insbesondere die Frage, inwieweit solche Räume durch ihre Ränder und geometrischen Singularitäten bestimmt sind. Analogien mit den Erkenntnissen über Hyperbolische Geometrie spielen dabei eine wichtige Rolle.

Das Projekt fokussierte sich auf die Geometrie (2+1)-dimensionaler Raumzeiten. Diese sind nützlich als Modelle der Quantengravitation, für die Entwicklung von Werkzeugen für die allgemeine Relativitätstheorie und für das mathematische Verständnis möglicher geometrischer Strukturen. Die für die Physik relevanten (2+1)-Raumzeiten haben konstante Krümmung. Das wichtigste Ergebnis des Projekts ist der Beweis, dass solche Raumzeiten unter bestimmten Bedingungen eindeutig nur durch die intrinsische Geometrie zweier ihrer raumartigen Schnitte bestimmt sind. Es wurden einige Möglichkeiten der Geometrie der Schnitte beschrieben. Ähnliche Ergebnisse wurden für hyperbolische 3-Mannigfaltigkeiten zielt, die (2+1)-Raumzeiten mit konstanter Krümmung in einigen ihrer Eigenschaften ähneln und die grundlegend für die dreidimensionale Topologie sind. Einige Anwendungen auf andere mathematische Themen wurden skizziert.