Kodimension 1 Untergruppen und verzerrte hyperbolische Räume

In diesem Projekt studieren wir eine bestimmte Art von Mannigfaltigkeiten (d.h. Räume welche lokal wie der dreidimensionale Raum um uns herum aussehen, wobei wir in unserem Fall auch Räume höherer Dimension betrachten). Wir interessieren uns im speziellen für negativ gekrümmte Mannigfaltigkeiten und möchten verstehen, wann eine solche Mannigfaltigkeit eine Metrik konstanter Krümmung zulässt. Als Analogie kann man die Oberfläche eines Planeten betrachten. Diese hat für gewöhnlich viele Unebenheiten, aber sie kann in die Form einer runden Sphäre deformiert werden, welche konstante (positive) Krümmung hat. Im Sinne dieser Analogie geht es in diesem Projekt um die Frage wann ein Raum zu einem sehr gleichmässigen (gleichmässig wie die Oberfläche einer runden Kugel) negativ gekrümmten Raum deformiert werden kann. Wir versuchen diese Frage zu beantworten, indem wir die Geometrie niedrig-dimensionaler Unterräume und das zu diesen Unterräumen `komplementäre` geometrische Verhalten betrachten. Dies erfordert, dass wir mehrere geometrische Werkzeuge entwickeln. Gleichzeitig wirft es mehrere Fragen in Geometrie und Topologie auf, welche wir zu untersuchen planen. Insbesondere bietet uns diese Herangehensweise eine neue Methode über negativ gekrümmte Räume nachzudenken, welche bekannte Beispiele in einen neuen Kontext stellt, was neue Erkenntnisse ermöglicht.

Das zentrale Thema dieses Projektes war die Untersuchung von negativ gekrümmten Räumen. Diese Räume treten sowohl in der Mathematik, als auch ausserhalb (z.B. Informatik und Biologie) an verschiedenen Orten auf, weshalb wir ein generelles Verständnis für diese Räume erarbeiten wollen. Dank der besonderen geometrischen Eigenschaften von negativer Krümmung lässt sich sehr viel über diese Räume sehr allgemein untersuchen und verstehen. In diesem Projekt haben wir ganz besonders Räume untersucht, die nur über wenig symmetrische Strukturen verfügen. Im Gegensatz zu den symmetrischen Räumen wissen wir nur wenig über diese. Konkret haben wir uns damit befasst, wie negativ gekrümmte Räume durch ihren Rand im Unendlichen bestimmt werden. Wir haben gezeigt, dass - wenn dieser Rand eine Sphäre ist - wir diesen mit einer asphärischen Mannigfaltigkeit (ein Raum ohne Singularitäten) füllen können. Ausserdem haben wir die Entropie von Gromov-Thurston-Mannigfaltigkeiten untersucht. Solche Mannigfaltigkeiten werden als verzweigte Überlagerungen über einem Basisraum gebaut. Wir haben eine systematische Theorie für die Entropie von verzweigten Überlagerungen entwickelt und gezeigt, dass das asymptotische Verhalten der Entropie nur von der Geometrie des Basisraumes abhängt. Ein wichtiger Aspekt im Zusammenhang mit negativ gekrümmten Räumen sind Kubulierungen. Dabei handelt es sich um die Zerlegung eines solchen Raumes in (beliebig-dimensionale) Würfel. Kubulierungen sind ein sehr mächtiges Werkzeug, weshalb sie oft auch um ihrer selbst Willen studiert werden. In diesem Projekt haben wir die Isometrien von kubulierten Räumen untersucht und gezeigt, dass diese in vielen Fällen eine kompakt erzeugte Gruppe bilden. Das ermöglicht eine Reihe von neuen expliziten Konstruktionen, mit denen die Existenz ungewöhnlicher Kubulierungen untersucht werden kann.