Kodimension 1 Untergruppen und verzerrte hyperbolische Räume

In diesem Projekt studieren wir eine bestimmte Art von Mannigfaltigkeiten (d.h. Räume welche lokal wie der dreidimensionale Raum um uns herum aussehen, wobei wir in unserem Fall auch Räume höherer Dimension betrachten). Wir interessieren uns im speziellen für negativ gekrümmte Mannigfaltigkeiten und möchten verstehen, wann eine solche Mannigfaltigkeit eine Metrik konstanter Krümmung zulässt. Als Analogie kann man die Oberfläche eines Planeten betrachten. Diese hat für gewöhnlich viele Unebenheiten, aber sie kann in die Form einer runden Sphäre deformiert werden, welche konstante (positive) Krümmung hat. Im Sinne dieser Analogie geht es in diesem Projekt um die Frage wann ein Raum zu einem sehr gleichmässigen (gleichmässig wie die Oberfläche einer runden Kugel) negativ gekrümmten Raum deformiert werden kann. Wir versuchen diese Frage zu beantworten, indem wir die Geometrie niedrig-dimensionaler Unterräume und das zu diesen Unterräumen `komplementäre` geometrische Verhalten betrachten. Dies erfordert, dass wir mehrere geometrische Werkzeuge entwickeln. Gleichzeitig wirft es mehrere Fragen in Geometrie und Topologie auf, welche wir zu untersuchen planen. Insbesondere bietet uns diese Herangehensweise eine neue Methode über negativ gekrümmte Räume nachzudenken, welche bekannte Beispiele in einen neuen Kontext stellt, was neue Erkenntnisse ermöglicht.