Existenz und Eindeutigkeit von LösungenfürMinkowski-Probleme

Das Minkowski-Problem ist ein höchst bedeutendes Problem der konvexen Geometrie und der Differentialgeometrie, bei dem es um die Konstruktion eines konvexen Körpers aus einem vorgegebenen geometrischen Maß geht. Mathematiker wie Minkowski, Aleksandrov, Nirenberg, Cheng-Yau und Caffarelli haben wichtige Beiträge zur Existenz, Eindeutigkeit und Regelmäßigkeit von Lösungen des Minkowski-Problems geleistet. Im letzten Jahrhundert hat die Forschung zum Minkowski-Problem und seinen Anwendungen die Entwicklung der Monge-Ampère-Gleichung erheblich vorangetrieben. Mit zunehmender Reifung der Theorie des Minkowski-Problems hat diese nach und nach auch andere Gebiete durchdrungen. Studien zu verwandten Minkowski-Problemen haben die interdisziplinäre Integration zwischen der konvexen Geometrie und anderen Gebieten deutlich vorangetrieben. In diesem Projekt untersuchen wir Minkowski-Probleme in verschiedenen Gebieten wie der konvexen Geometrie, Integralgeometrie, Variationsrechnung und Wahrscheinlichkeitstheorie und wenden dabei Techniken aus Variationsmethoden, Kontinuitätsmethodenundder Gradtheorieinpartiellen Differentialgleichungen sowie geometrischen Flüssen an. Die Forschung konzentriert sich auf duale Minkowski-Probleme in der konvexen Geometrie, Sehnen-Minkowski-Probleme in der Integralgeometrie,Torsions-Minkowski-Probleme inder Variationsrechnung und Gauß-Minkowski-Probleme in der Wahrscheinlichkeitstheorie. Durch die Verfeinerung bestehender Techniken und die Entwicklung neuer Ansätze zielt die Studie nicht nur darauf ab, die Herausforderungen hinsichtlich Existenz und Eindeutigkeit dieser Minkowski-Probleme substanziell zu lösen, sondern auch den theoretischen Rahmen verwandter Minkowski-Probleme zu verbessern und so unsere bisherigen Arbeiten zu erweitern. Noch wichtiger ist, dass eine eingehende Untersuchung dieser Fragen neue Erkenntnisse zur Lösung seit langem offener Probleme in ihren jeweiligen Bereichen liefern wird. Das übergeordnete Ziel dieses Projekts ist es, das theoretische Verständnis von Minkowski-Problemen zu vertiefen und dadurch die interdisziplinäre Integration von geometrischer Analysis, partiellen Differentialgleichungen, Integralgeometrie und Wahrscheinlichkeitstheorie zu fördern und die theoretischen Grundlagen der reinen Mathematik für angewandte Bereiche wie Physik und Ingenieurwesen zu stärken.