Maßwertige Lösungen in Elastizität und Plastizität

Dieses Projekt untersucht, wie Materialien sich unter Belastung verformen, wobei sowohl elastische als auch plastische Verhaltensweisen im Fokus stehen insbesondere in Situationen mit großen Deformationen und Temperaturänderungen. Diese Fragestellungen sind zentral für die Angewandte Mathematik und Mechanik und haben weitreichende Anwendungen in der Ingenieurwissenschaft, Materialwissenschaft und Biomechanik. Der erste Teil des Projekts befasst sich mit elastischen Materialien, also solchen, die nach einer Verformung wieder in ihre ursprüngliche Form zurückkehren. Während das statische Verhalten solcher Materialien gut verstanden ist, ist über ihre dynamische Entwicklung insbesondere unter Temperatureinfluss deutlich weniger bekannt. Wir beabsichtigen, diese Systeme mit variationalen Methoden zu untersuchen, die das Materialverhalten über Energieprinzipien beschreiben. Unser Ziel ist es, sogenannte maßwertige Lösungen (measure-valued solutions) zu konstruieren ein flexibler mathematischer Rahmen, der komplexe Effekte wie Oszillationen oder Mikrostrukturen erfassen kann. Diese Lösungen sollen die Gesamtenergie erhalten und Entropiedissipation erlauben, wodurch zentrale thermodynamische Gesetze abgebildet werden. Der zweite Teil des Projekts befasst sich mit Plastizität also bleibenden Verformungen, die auch nach Entlastung bestehen bleiben. Im Fokus steht nicht-assoziative finite Plastizität, eine anspruchsvolle Modellklasse, die viele reale Materialien realistischer beschreibt, aber mathematisch schwieriger zu behandeln ist. Diese Modelle folgen keinen standardmäßigen, energiebasierten Strukturen, was sie für etablierte mathematische Methoden weniger zugänglich macht. Wir wollen neue variationsbasierte Verfahren entwickeln, um zu beschreiben, wie sich solche Materialien unter quasistatischen Bedingungen zeitlich entwickeln, und zeigen, dass diese Verfahren stabile und energiekonsistente Lösungen liefern. Darüber hinaus planen wir, diesen Rahmen um Temperatureffekte zu erweitern. Eine wesentliche Schwierigkeit in beiden Projektteilen besteht darin, dass die zugrunde liegenden Energieformen nicht konvex sind, was die mathematische Analyse von diesem Problem verkompliziert. Wir begegnen diesem Problem mit neuen Ansätzen, die auf verallgemeinerten Konvexitätsannahmen und Young-Maßen basieren, die leistungsfähige Werkzeuge zur Modellierung komplexer Materialantworten Materialverhalten sind. Die Hauptziele des Projekts sind: (A) Einen geeigneten thermodynamischen Potentialansatz für eindimensionale thermoelastische Systeme zu finden und zu zeigen, dass damit entropiedissipative und energieerhaltende Lösungen mittels schrittweiser Minimierungsschemata konstruiert werden können; (B) Verallgemeinerte Lösungen für dynamische Thermoelastizität in höheren Dimensionen zu entwickeln; (C) Die Existenz zuverlässiger Lösungen für nicht-assoziative finite Plastizität zu etablieren und diese Methoden auf thermische Effekte zu erweitern.