Ergodentheorie mit Markovkategorien

Jeden Tag stehen wir als Individuen und als Gesellschaft vor Unsicherheiten, die unsere Entscheidungen in nahezu allen Lebensbereichen beeinflussen. Während in einfachen Fällen informelle Einschätzungen ausreichen, profitieren wir in komplexeren Kontexten, wie wissenschaftlichen Experimenten, politischen Entscheidungen oder Marktanalysen, erheblich von einer formalen Theorie der Wahrscheinlichkeit und statistischen Analyse. Traditionell wird als Grundlage der Analyse die sogenannte Maßtheorie verwendet, ein Teilgebiet der mathematischen Analyse. Dieses Projekt befasst sich hingegen mit der Entwicklung einer alternativen Grundlage: die synthetische Wahrscheinlichkeitstheorie. Sie baut auf allgemeinen Prinzipien des Entscheidens unter Unsicherheit auf. Dies ist etwa die Fähigkeit, Wissen bei neuen Beobachtungen zu aktualisieren oder unabhängige Experimente zu kombinieren. Dieser Perspektivenwechsel ermöglicht allgemeinere und intuitivere Erklärungen, selbst wenn einige kleine Unterschiede verloren gehen. Die technische Umsetzung der synthetischen Wahrscheinlichkeitstheorie erfolgt durch sogenannte Markovkategorien. Ein besonderer Vorteil ist die Verwendung von Diagrammen die Aussagen und Beweise auf anschauliche, jedoch rigorose Weise darstellen. Diese Diagramme bringen die Abhängigkeit zwischen Ereignissen zum Ausdruck und ähneln den bestehenden und weit verbreiteten Methoden zur Darstellung statistischer Abhängigkeiten, was sie besonders intuitiv macht. In den letzten fünf Jahren hat die Entwicklung der synthetischen Wahrscheinlichkeitstheorie mittels Markovkategorien große Fortschritte gemacht. Einerseits wurden viele der zentralen Theoreme über Unsicherheit aus der neuen Perspektive bewiesen. Einige davon haben sofort neue Anwendungen gefunden, während andere durch die anschaulichen Diagramme nun nachvollziehbarer sind. Andererseits wurde die Sprache der Markovkategorien bereits verwendet, um Kausalität, Kognition, Entscheidungstheorie, maschinelles Lernen und andere Anwendungen der Wahrscheinlichkeitstheorie zu modellieren und zu verstehen. Dieses Projekt wird einen weiteren Beitrag zu diesen Erkenntnissen leisten, indem es einen synthetischen Ansatz für ergodische Theoreme liefert. Dabei handelt es sich um äußerst einflussreiche Ergebnisse, die uns helfen, das langfristige Verhalten von Systemen zu verstehen. Sie sagen uns, unter welchen Bedingungen das durchschnittliche Verhalten im Laufe der Zeit mit dem durchschnittlichen Verhalten aller möglichen Anfangszustände des Systems übereinstimmt. Diese Idee findet breite Anwendung, von der Vorhersage von Wettermustern bis hin zum Verständnis der statistischen Physik, und sogar in Bereichen wie Wirtschaft und Datenwissenschaft.