Effektive Modelle für zufällige diffusive Systeme

In diesem Projekt befassen wir uns mit der mathematischen Erforschung und Approximation von Systemen, die eine Skalenseparation aufweisen. Da Situationen mit Skalenseparationen (d.h. Situationen, in denen mikroskopische Strukturen auftreten, die bedeutend kleiner sind als die relevante makroskopische Skala) in der Natur allgegenwärtig sind, sind solche Systeme von grundlegendem Interesse für die angewandte Mathematik. Im ersten Teil des Projekts interessieren wir uns für die Approximation der physikalischen Eigenschaften eines Materialausschnitts mit zufälligen Heterogenitäten, die bedeutend kleiner sind als die Größe des Ausschnitts. Aus mathematischer Sicht ermöglicht die zufällige Mikrostruktur unter bestimmten Bedingungen eine gewisse Homogenisierung auf der Skala des Materialausschnitts, d.h. auf der makroskopischen Skala kann das heterogene Material durch ein bestimmtes homogenes (homogenisiertes) Medium approximiert werden. Wichtige mathematische Entwicklungen in der letzten Dekade haben die Möglichkeit eröffnet, quantitative Homogenisierungsergebnisse - z. B. Konvergenzraten (bezüglich des Skalenseparationsfaktors) der heterogenen Gleichungen zu ihren homogenisierten Versionen oder Fehlerabschätzungen für Approximationen des homogenisierten Operators - in einem breiten Spektrum von Situationen zu beweisen. Wir interessieren uns insbesondere für Materialausschnitte mit Ecken, Kanten und/oder inneren Grenzflächen. Im zweiten Teil des Projekts betrachten wir Systeme wechselwirkender Partikel. Die Bewegung jedes Partikels wird durch die paarweise Interaktion mit den anderen Partikeln und eine zufälligen Diffusion beschrieben. Häufig bestehen Partikelsysteme aus einer großen Anzahl von Partikeln, was Simulationen des Partikelsystems zu rechenintensiv macht. Aus diesem Grund besteht die Bestrebung rechnerisch einfachere effektive Modelle zu entwickeln, die das System approximieren, wenn die Anzahl der Partikel unendlich gross wird -diese Modelle bestehen üblicherweise aus partiellen Differentialgleichungen. Wir interessieren uns für den mesoskopischen Bereich einer großen, aber endlichen Partikelanzahl. Da wir durch die endliche Partikelanzahl die Konvergenz zum effektive Modell nicht erreichen, müssen wir dies durch die Beschreibung der resultierenden Fluktuationen des Systems um das effektive Modell herum kompensieren. Wir untersuchen im Besonderen zwei bestimmte Klassen von Systemen, die interagierende Populationen beschreiben, und leiten Gleichung der fluktuierende Hydrodynamik her.