Sprödbruch auf Scheiben und Schalen

Die Vorhersage, wie dünne Strukturen angelegten Spannungen ausgesetzt sind, ist von entscheidender Bedeutung in verschiedenen Industriebereichen, wie der Automobil-, Luft- und Raumfahrt- und Schifffahrtsindustrie. Die entsprechende mathematische Herausforderung besteht darin, zuverlässige Modelle für Membranen, Platten und Schalen zu erarbeiten, die in der Lage sind, die physikalischen Merkmale solcher niederdimensionaler Strukturen zu erfassen. In den letzten Jahrzehnten hat sich die mathematische Gemeinschaft auf die rigorose Ableitung zweidimensionaler Modelle im Rahmen der Elastizität konzentriert. Um die Sicherheit vieler Ingenieurbauwerke zu beurteilen, reicht die Beschreibung des alleinigen elastischen Verhaltens einer dünnen Struktur nicht aus, und Versagensphänomene wie Sprödbruch müssen berücksichtigt werden. Dies führt zur Untersuchung von Dimensionsreduktionsproblemen im Zusammenhang mit Variationsbruchmechanik. Mittels Variationskonvergenz zielen wir auf eine rigorose Begründung von Spördbruchmodellen an Membranen, Platten und Schalen und auf die Entwicklung neuer numerischer Methoden zur Bruchsimulation an dünnen Strukturen ab. Wir werden Rissprozesse in linearer und nichtlinearer Elastizität, in Membran- und Biegeregimen, ihre Phasenfeldapproximation und ihre numerische Implementierung mit der Finite-Elemente- Methode betrachten. Die herausforderndsten Aufgaben unserer Analyse werden darin bestehen, (i) die verschiedenen Energielandschaften des Sprödbruchs zu beherrschen, (ii) die richtige funktionale Einstellung zur Beschreibung des Sprödbruchs an dünnen Strukturen zu entwickeln, wobei der Schwerpunkt insbesondere auf der nicht-euklidischen Natur von Membranen und Schalen liegt, und (iii) einen soliden Hintergrund für numerische Simulationen von Bruchentwicklungen an Membranen, Schalen und Platten zu erarbeiten. Wir werden Bruchphänomene in Dimensionsreduktionsprobleme einbeziehen und eine solide Grundlage für die angewandte Forschung der letzten Jahre schaffen. Gleichzeitig werden wir zur Untersuchung GSBV- und GSBD-Räume durch Ausweitung ihrer Definition auf nicht-euklidische Umgebungen und durch Untersuchung ihrer Einfluss auf neue Dimensionsreduktionsprobleme beitragen. Unsere theoretische Untersuchung wird weiter zur Entwicklung von Berechnungsmethoden für Rissentwicklung an dünnen Strukturen führen. Das Programm wird von dem Antragsteller Stefano Almi in Zusammenarbeit mit dem Mentor Joachim Schöberl (TU Wien) und den internationalen Partnern Manuel Friedrich, Francesco Solombrino und Emanuele Tasso.

Während der Förderperiode haben wir uns auf die Analyse des Variationsmodells des Bruchs an Platten und Schalen konzentriert. Es ist uns gelungen, im Bereich der Probleme der freien Diskontinuität die geeignete funktionale Einstellung für solche Modelle zu finden, strukturelle Eigenschaften bereitzustellen und die Untersuchung notwendiger und hinreichender Bedingungen für die Existenz von Gleichgewichtskonfigurationen einzuleiten. Wir haben uns außerdem mit der Modellierung und strengen Begründung der Nichtdurchdringung von Materie in der Bruchmechanik und damit verbundenen Problemen bei der Elastizität befasst. Im Rahmen der Linearisierung nichtlinearer Elastizitätsmodelle haben wir die Abhängigkeit von variablen Exponenten und nicht standardmäßigen Wachstumsbedingungen analysiert, die typischerweise zur Modellierung inhomogener Materialien verwendet werden. Abschließend haben wir die Konzentrationseffekte untersucht, die durch das Zusammenspiel zwischen dem Multiwell-Elastizitätspotential und mikroskopischen Defekten entstehen, von denen bekannt ist, dass sie auf makroskopischer Ebene zu nichtelastischen Phänomenen führen.