Hermite Multiplikator, Faltungen und Zeit-Frequenz-Analyse

Das Konzept der Faltung ist sowohl in der mathematischen Fourier-Analyse als auch in der Technik sehr wichtig, zum Beispiel bei der Analyse von translationsinvarianten linearen Systemen. Es hilft uns zu verstehen, wie sich Signale in verschiedenen Systemen ändern, wie zum Beispiel in elektronischen Schaltkreisen oder Signalverarbeitungsalgorithmen. Die Faltung steht in engem Zusammenhang mit der Fourier-Transformation in ihren verschiedenen Formen. Dieses Projekt zielt darauf ab, verschiedene Versionen der Faltung zu untersuchen, die Hermite- Funktionen mit der Zeit-Frequenz-Analyse (TFA) verbinden. Auf diese Weise sollen die Ergebnisse aus ingenieurwissenschaftlichen Arbeiten und der vorhandenen Literatur gefestigt und erweitert werden. Dieses Projekt ist innovativ, weil es Fragen und Methoden aus verschiedenen wissenschaftlichen Bereichen kombiniert. Mathematisch untersucht es Gabor- und Hermite-Entwicklungen von temperierten Distributionen, die verschiedene Funktionsräume und Multiplikatoren umfassen. Diese Konzepte sind in diesem Kontext gut etabliert. Ein wichtiger Bestandteil dieses Projekts ist die Untersuchung der fraktionalen Fourier-Transformation (FrFT), die ein Signal von seiner ursprünglichen Domäne (Zeit oder Frequenz) in eine neue Domäne transformiert, die durch einen fraktionalen Winkel definiert ist. Dieses Werkzeug ist wertvoll für die Analyse von Signalen auf eine Weise, die traditionelle Fourier- oder Zeitdomänenmethoden nicht können. Zu den bemerkenswerten Anwendungen der FrFT gehören die Optik, wie die optische Signalverarbeitung, die Phasenrückgewinnung usw. Wir planen, die mathematische Theorie mit realen Anwendungen zu integrieren, um unser Verständnis und unsere praktischen Fähigkeiten in der Technik zu verbessern. Dies wird die Methode der konzeptionellen harmonischen Analyse voranbringen, die darauf abzielt, Algorithmen und numerische Werkzeuge für Anwendungen zu entwickeln, aber auch theoretische Konzepte durch numerische Erkundung zu unterstützen. Dieses Projekt wird auch verschiedene Arten von Multiplikatoren untersuchen, wie Gabor-Multiplikatoren oder Hermite-(Pseudo)- Multiplikatoren, und deren Verwendung in speziellen Banachräumen von Distributionen, bekannt als Modulationsräume (vom Gastgeber eingeführt) oder Hermite-Besov-Räume. Wir werden ihre gegenseitigen Annäherungen und ihre Auswirkungen auf Funktionsräume untersuchen, die durch andere Entwicklungstypen und verschiedene diskrete Versionen definiert sind.